8 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
§ 31. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ В СУММУ;
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Преобразовать в суммы следующие произведения.
1788. 1) cos 15° • cos 5°; 2) 2 cos 18° • cos 66°;
3) 2 cos π/8 • cos π/5; 4) 2 cos (a + b) • cos (a — b);
5) 2 cos x • cos (x + 1); 6) cos (α — π/6 ) • cos (α/2 + π/6).
1789. 1) sin 23°— sin 32°; 2) sin π/12 • sin π/8;
3) 2 sin A • sin 2A; 4) 2 sin (x + a) • sin (x — a).
1790. 1) sin 15° • cos 10°; 2) 2 sin 14° • cos 16°;
3) 2 cos 3° • sin 2°; 4) sin (x — y) • cos (y — x).
1791. 1) sin 10° • cos 8° • cos 6°; 2) 4sin 25° • cos 15° • sin 5°;
3) 4 sin 12° • sin 14° • sin 16°; 4) 4 cos 25° • cos 35° • cos 15°.
1792. 1) 8 cos 1° • cos2° • cos4° • cos 8°; 2) 4 sin A • sin 2A • sin 3A • sin 4A.
1793. Пользуясь формулами преобразования произведений тригонометрических функций в сумму, доказать тождества:
1) 2 cos2 α/2 = 1 + cos α; 2) 2 sin2 α/2 = 1 — cos α;
3) 2 cos2 (45° — α/2) = 1 + sin α; 4) 2 sin2 (45° — α/2) = 1— sin α.
1794. Применяя формулы понижения степени синуса и косинуса (задача 1793), доказать тождества задачи 1624.
1795. Преобразовать в суммы тригонометрических функций 1-й степени следующие произведения:
1) sin2 3A; 2) 2 cos2 (α — 45°); 3) 4 cos x • sin2 x/2;
4) sin 4γ cos2 (2γ + π/4) 5) sin3 α; 6) 4 cos4 α;
7) 16sin2 α • cos3 α; 8) 32 sin5 α • cos3 α.
1796. Пользуясь таблицами, найти числовые значения выражений:
1) sin 50° • sin 15°; 2) sin 33° • cos 47°;
3) 2 cos2 33°21'; 4) sin2 26°34';
5) 2 sin 12° • cos 8° • cos 10°; 6) 4 sin2 10° • sin 70°.
1797. Упростить выражения.
1) 2 sin 10° • sin 40° + cos 50°; 2) 2 cos 20° • cos 40° — cos 20°.
1798. 1) sin α • (1 + 2 cos 2α); 2) 2 cos α • cos 2α — cos 3α.
1799. 1) sin 2α + 2 sin ( 5π/12 — α) • cos ( 5π/12 + α);
2) cos2α + 2sin (α + π/6) • sin (α — π/6).
1800. 1) sin2 α — sin (α + π/3) • sin (α — π/3).
2) cos2 α — cos(30° + α) • cos(30° — α).
1801. 1) cos 2α • cos2 α — 1/4 cos 4α — 1/2 cos 2α;
2) cos2 3 + cos2 1 — cos 4 • cos 2.
Доказать тождества.
1802. 1) sin 1° + sin 91° + 2 sin 203° • (sin 112° + sin 158°) = 0.
2) cos 35° + cos 125° + 2 sin 185° • (sin 130° + sin 140°) = 0.
1803. 1) 4 cos α/2 • cos α • sin 3α/2 = sin α + sin 2α + sin 3α;
2) 4 cos 2α • cos (α/2 + 30°) • cos (α/2 — 30°) = cos α + cos 2α + cos 3α.
1804. 1) 4 cos α/2 • cos a • sin 5α/2 = sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α;
2) 4 cos α/2 • cos a • cos 5α/2 = cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α.
1805. 1) sin 20° • sin 40° • sin 60° • sin 80° = 3/16;
2) tg 20° • tg 40° • tg 60° • tg 80° = 3.
1806. Дано: tg α = 2 tg β . Доказать: sin (α + β) = 3 sin (α — β).
1807. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
1) y = sin (x + π/8 ) • cos (x — π/24 );
2) у = sin (ах + b1) • cos (ax + b2);
3) у = cos (3х + 2π/5 ) • cos (3x + π/15 );
4) у = cos (ах + b1) • cos (ах + b2);
5) у = sin (x — 60°) • sin (x + 60°);
6) у = sin (ах + b1) • sin (ах + b2);
7) у = sin4 x + cos4 x; 8) у = sin6 x + cos6 x.
1808. Найти наименьшие положительные периоды функций:
1) (2 cos 2x — 1) • cos x; 2) sin x • cos 2x; 3) sin3 x; 4) cos4 x.
1809. Решить уравнения:
1) cos (x + 60°) • cos (x — 60°) + 1/4 = 0;
2) sin (x + π/3 ) • cos (x — π/6 ) = 1;
3) sin 3x • cos x = sin 5x/2 • cos 3x/2; 4) sin
x/sin 2,5x = cos 0,5x/cos 2x;
5) 2 sin (π/4 + x) • sin (π/4— x) + sin2 x = 0;
6) 2 cos (45° + x) • cos (45° — x) — cos2 x = 0.
1810*. Решить неравенства:
1) sin x • (1 — 2 sin 2x) < cos 3x;
2) sin (x + π/12) • cos (x — π/12) > cos (x + π/6) • cos (x — π/6);
3) ctg x • (1 — cos 2x) > cos 2x.
ОТВЕТЫ
