8 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ

§ 32. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Сложение колебаний одинаковой частоты

1878. Даны уравнения двух простых гармонических колебаний:
у₁ = — l,5 sin t     и      у₂ = 2 cos t.

1) На одном и том же чертеже построить графики этих колебаний.
2) Произведя геометрическое сложение ординат полученных графиков (соответствующих одним и тем же значениям аргумента t), построить график результирующего колебания у = у₁  +   у₂
3) Определить по графику амплитуду, период и начальную фазу результирующего колебания и составить его уравнение.
4) Подтвердить результат вычислением.
5) Выполнить то же задание для простых гармонических колебаний:
 у₁ = √3 sin ^t/₂   и   у₂ = — cos ^t/₂.

1879. 1) Доказать что уравнение, выражающее сумму двух гармонических колебаний одинаковой частоты:

 у₁ = A₁ sin ωt  и  у₂ = A₂ cos ωt ,

имеет вид:

у = A sin (ωt + φ),    

где

2) Пользуясь доказанной теоремой, найти амплитуду, период и начальную фазу колебания у = √3 sin ^t/₂  — cos ^t/₂ , приведенного в задаче 1878.

1880*. 1) Доказать, что уравнение, выражающее сумму двух гармонических колебаний:

у₁ = А₁ sin (ωt + φ₁)     и    у₂ = А₂ sin (ωt + φ₂),

имеет вид:                          у = А sin (ωt + φ),

где         

2) Определить, при каком условии амплитуда А результирующего колебания равна:
а) сумме амплитуд составляющих колебаний;
б) абсолютной величине разности этих амплитуд.

1881. По данным уравнениям двух простых гармонических колебаний одинаковой частоты найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания  у = у₁  +   у₂:

1) у₁ = 4 sin 5t   и     у₂ = 3 cos 5t ;

2) у₁ = 2 sin ^t/₂ и  у₂ = 2sin ( ^t/₂ +  ^2π/₃);

3) у₁ = sin ( ²/₃ t —  ^π/₄)  и  у₂ = sin ( ²/₃ t +  ^5π/₁₂);

4) у₁ = 2 sin (2t + ^π/₃)   и    у₂ = 3 sin (2t — ^π/₃);

5) у₁ = 127 sin (ωt + ^2π/₃)   и  у₂ = — 127 sin ωt.

1882. Даны два гармонических колебания:

у₁ = 10 sin ωt   и    у₂ = 6 sin (ωt + φ).

При каких значениях φ на интервале [0; π] результирующее колебание  у = у₁  +   у₂ будет иметь амплитуду, равную: 1) 16; 2) 4; 3) 14?

1883. Для разности простых гармонических колебаний

у = 3 sin (2t +  φ₁) — 4 cos (2t + ^π/₆)

построить график при φ₁ = 1.
При каких значениях φ₁ в интервале (— π; π) результирующее колебание будет иметь амплитуду, равную: 1) 7; 2) 1; 3) 5?

1884. Цепь питается двумя генераторами переменного тока. Сила тока первого генератора изменяется в зависимости от времени по закону i₁ = 3 sin ωt, сила тока второго генератора — по закону  i₂ = 5 sin (ωt + ^2π/₃ ) .
Найти, по какому закону изменяется в зависимости от времени сила тока в цепи и какова максимальная сила тока в цепи. 

1885. По проводникам, соединенным «звездой» (рис. 60), идет электрический ток, причем ток
в первом проводнике        i₁ = i sin ωt,
во втором                           i₂ = i sin (ωt + ^2π/₃ ) и
в третьем                            i₃ = i sin (ωt + ^4π/₃ ).

Найти сумму этих токов (графически и аналитически).

1886. По проводнику идут одновременно два переменных тока:

 i₁ = i sin (ωt + φ₁ )     и     i₂ = i sin (ωt + φ₂ ) .

Определить, при каком смещении фаз этих токов ток в этом проводнике будет равен нулю. Привести графическую иллюстрацию.

ОТВЕТЫ