ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1887. Синусы двух острых углов треугольника равны соответственно  7/25 и 4/5. Найти косинус третьего угла треугольника.

1888. Углы α  и β острые. Что больше: cos (α — β) или cos α + sin β? Ответ объяснить.

1889. Доказать, что tg α tg β + tg β tg γ + tg γ tg α = 1, если α + β + γ = π/2

1890. Доказать тождества:

1) sin2 α • cos2 α = 1/8 cos α — 1/16 cos 3α — 1/16 cos 5α;
2) 4 sin α • sin (60° — α) • cos (30° — α) = sin 3α.

1891. Решить уравнения:

1) sin x + sin 2x + sin 3x = 0;
2) sin4 2x — cos4 2x = sin 4x.

1892. Преобразовать в произведение:

1) 1 — tg2 α;            2) 0,75 — cos2  β/2;
3) sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α.

1893. Доказать тождества:

1895. Вычислить (без таблиц) sin (α + π/4), если tg α/2 = 2/3.

1896*. Доказать тождества:


 

1897. Упростить sin (πn + α) • cos (πn — α), n = 0, ±1, ±2.....

1898. Доказать тождества:

1899. Показать, что величина выражения

cos2 (α + β) + cos2 β — 2 cos α • cos β • cos (α +  β)

не зависит от величины угла β.

1900*. Вычислить (без таблиц)

sin4  π/16 + sin4  3π/16 + sin4  5π/16 + sin4  7π/16 

1904. Вычислить (без таблиц)

cos2 70° + cos2 50° + cos 70° • cos 50°.

1905. Упростить sin 47° + sin 61° — sin 11° — sin 25°.

1906* Дано: sin α + sin β = b, cos α + cos β = a.
Найти: 1) cos (α + β); 2) sin (α + β); 3) cos (α — β).

1907. Преобразовать в произведение:

 1) 2 cos 2α + sin 2α • tg α;               2) ctg α + ctg 2α + 1/sin 2α ;
 3) 1 + tg α + 1/cos α;                        4) tg3 x + tg2 x — 3 tg x — 3;
 5) 1 + cos α + cos α/2 ;                    6) 1 + sin α  + cos α + tg α;
 7) √ tg α + sin α + √ tg α — sin α,       0 < α < π/2;
 8) 1—1/4 sin2 2α — sin2 β — cos4 α;
 9) sin (A — 2B) + sin (B — 2A) — sin (A + B);
10) tg α + tg β + tg γ —tg α • tg β • tg γ

1908. Решить уравнения:

1) tg ( /3x) + tg ( π/3 x) = 2 sin 2x,
2)cos2 ( π/8 x) — cos2 ( π/8 + x) = 1/2;
3) (sin x + cos x)2 = tg (45° + x);
4) cos2 x/4 + cos2 x/2 + cos2  3x/4 + cos2 x = 2.

1909*. Решить неравенства:

1) sin x + √3 cos x > 1;
2) sin 3x• sin 5x < sin x • sin 7x;
3) 5 + 2 cos 2x < 3 | 2 sin x —1 |;
4) cos2 (x + у) — sin2 y > 2 cos x • cos y • cos (x + y).

1910. Найти зависимость между a, b и с из соотношений:

cos (α + β) = a,
cos (β + γ) = b,
cos  (γ + α) = c.

1911. Исключить x и у из следующих уравнений:

1) sin х + cos y = а,        2) sin x + sin у = 2а,
    tg x + ctg y = b,               cos x + cos y = 2b,
      1/cos x + 1/sin y = c.          tg x + tg  y = 2c.

1912. Доказать, что tg2 20°, tg2 40° и tg2 80° являются корнями уравнения
х3 — 33х2 + 27х — 3 = 0.

1913. Найти углы прямоугольного треугольника, стороны которо образуют арифметическую прогрессию.

1914. На стороне угла α взята точка А на расстоянии r от его веpшины и из нее опущен перпендикуляр АВ на другую сторон из точки В опущен перпендикуляр на первую сторону угла и так далее. Определить предел суммы длин всех перпендикуляров

1915*. Точка Р совершает простое гармоническое колебание вдоль отрезка ВВ1 = 8 см; расстояние ВВ1 точка проходит за 18 сек.
1) Составить уравнение движения точки, приняв за исходное положение точку В.
2) Определить, на каком расстоянии от своего исходного положения будет находиться точка Р через 12 сек.

1916. Диагональ равнобедренной трапеции равна d и образует с боковой стороной прямой угол, а с большим основанием угол α. Определить радиус описанной окружности и площадь трапеции. Какой вид имеет трапеция с наибольшей площадью?

1917. Определить периметр и площадь прямоугольника, если диагональ его равна d и угол между диагоналями φ.

1918. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна т, а один из острых углов α. Определить площадь треугольника.

1919. Определить периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная его острый угол α и радиус r вписанной в него окружности.

1920. Острый угол равнобедренной трапеции равен α, радиус вписанной в нее окружности равен r. Определить площадь трапеции и ее периметр.

1921. В круг радиуса R вписана трапеция так, что большее ее основание совпадает с диаметром круга, а меньшее основание стягивает дугу 2α. Определить площадь трапеции.

1922. В четырехугольнике BACD АВ = ВС = b, / DAB = α  и / ABD = / BCD = 90°. Определить DC. При каких α задача имеет решение?

1923. Около круга радиуса r описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон углы α и β. Определить основания трапеции.

1924. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии. Периметр трапеции равен 2р, а острый угол α. Определить площадь трапеции. Какой вид имеет такая трапеция с наибольшей площадью?

1925. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат так, что одна из его сторон образует со стороной данного квадрата угол α. Определить площадь вписанного квадрата. Решение исследовать.

1926. Расстояние между центрами двух окружностей равно d. Общая внутренняя касательная их составляет с линией центров угол, равный α, а общая внешняя касательная составляет с линией центров угол β. Определить длины этих окружностей.

1927. Определить площадь равнобедренной трапеции с острым углом α, если длина окружности, вписанной в эту трапецию, равна С. При каком значении α площадь трапеции равна удвоенной площади круга?

1928. Определить длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с острым углом α и площадью S.

1929. АВ — дуга некоторой окружности, α — соответствующий ей центральный угол. Определить длину окружности, вписанной в сектор АОВ, если радиус данной окружности равен R. При каком значении α длина вписанной окружности составит третью часть длины данной окружности?

1930. Определить площадь ромба с углом α, зная площадь q вписанного в него круга. Решение исследовать.

1931. Определить площадь каждого из двух внешне касающихся кругов, если расстояние между их центрами равно d, а угол между общими внешними касательными равен сφ. Решение исследовать.

1932. Из некоторой точки проведены к данной плоскости две наклонные, каждая из которых равна а; угол между наклонными равен α, а угол между их проекциями прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости. При каких значениях α задача имеет решение?

1933. Основанием прямого параллелепипеда служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и образует с прилежащей стороной основания угол α. Определить высоту параллелепипеда. При каких значениях угла α задача имеет решение?

1934. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует со стороной основания угол α. Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды. При каких значениях угла α задача имеет решение?

1935*. Две прямые заданы уравнениями:

у = a1x + b1                                    (1)
у = а
2х + b2.                                   (2)

1) Найти угол φ между прямыми (рис. 61).

2)  При каком соотношении между параметрами а1 и а2 прямые (1) и (2) взаимно перпендикулярны (условие перпендикулярности двух прямых)?

Задачи для контрольных работ

1936. 1) Упростить выражение

2) Доказать тождество

cos α  + sin α  • ctg( π/4 α/2 ) = tg ( π/4 + α/2).

3) Вычислить tg ( arcsin 1/26 + arctg 2/3 ).

4) Решить уравнение cos π/8 • cos x = sin π/8 • sin x + 1.

1937. 1) Упростить выражение

2) Доказать тождество

cos α  — sin α  • tg( π/4 α/2 ) = tg ( π/4 — α/2)

3) Вычислить tg ( arccos 2/5 — arctg 1/3 ).

4) Решить уравнение sin (x + π/5) = sin π/5 • cos x.

______________________

1938. 1) Упростить выражение cos2  α/2 +  1/2 cos (π — α).

2) Вычислить sin x, если sin 2x = 63/8   и   /4 < х < /2

3) Доказать тождество

sin4 α + 1/4 sin2 (2α + π) = sin2 α.

4) Определить √ 0,5 + 0,5 cos (2 arccos 0,75).

1939. 1) Упростить выражение sin2  α/2 —  1/2 cos (π + α).

2) Вычислить cos α/2, если tg α = 4√5   и   π < α <  /2.

3) Доказать тождество

cos4 α + 1/4 cos2 (π/2 + 2α) = cos2  α.

4) Определить  .

_______________________

1940. 1) Упростить выражение sin2 α + cos ( α + π/3 ) • cos (α — π/3 ).

2) Доказать тождество

.

3) Преобразовать в произведение

1 + sin x — cos 2x.

4) Решить уравнение

cos 5x + 2 sin 2x • sin 3x =1.

1941. 1) Упростить выражение cos2 α + sin (α + π/6 ) • sin (α — π/6 ).

2) Доказать тождество

3) Преобразовать в произведение

1 + cos х + cos 2x.

4) Решить уравнение

sin 5х — 2 sin 2x • cos 3x = 0.

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz