9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 33. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
1942. Если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается вдвое, то по истечении х суток от массы М0 остается масса M = M0 ( 1/2 )x. Пользуясь указанной формулой, определить:
1) Сколько радиоактивного вещества останется через 1,5 суток; через 3 суток?
2) Через сколько суток количество вещества уменьшится в 128 раз?
1943. 1) Положив в формуле M = M0 ( 1/2 )x значение массы М0 радиоактивного вещества равным единице, заполнить таблицу значений функции М (х) для следующих значений аргумента х:
2) Построить график функции M = ( 1/2 )x и сравнить его с графиком функции, данным на рисунке 62.
3) Через сколько суток количество вещества уменьшится в 10 раз? Определить по графику.
1944. Сила трения железного троса, намотанного на железный барабан, дает возможность меньшей силе Р0 уравновесить большую силу Р (рис. 63).
Зависимость между уравновешенными силами выражается формулой Р= Р0•3п,
где п — число витков троса на барабане.
1) Какой груз можно удержать силой
Р0 = 5 кГ, если трос обхватывает барабан 0,5 раза; 1 раз; 1,25 раза; 1,75 раза?
2) Найти удерживающую силу Р0, если она уравновешивает силу Р = 270 кГ с помощью троса, обмотанного вокруг барабана 1,5 раза; 3 раза?
3) Сколько раз трос намотан на барабан, если силой в 5 кГ удерживается груз в 15 кГ; в 45 кГ?
4) Положив в формуле Р= Р0•3п значение Р0 равным единице, заполнить таблицу значений функции Р (n) для следующих значений аргумента п:
5) Построить график функции Р = 3п и, пользуясь графиком, определить:
а) какой груз может уравновесить единичная сила, если трос обхватывает барабан 0,75 раза; 1,5 раза; 2,5 раза?
б) каково число витков троса на барабане, если удерживаемый груз равен 6; 8; 9 единицам силы?
1945. Дана показательная функция у = 2x.
1) Заполнить таблицу значений функции у, давая х следующие значения:
2) Построить точечный график функции у = 2x. Почему точки графика можно соединить плавной кривой? Сравнить полученный график с чертежом (рис. 64).
3) По проекции графика функции у = 2x на ось X найти область определения функции.
4) По проекции графика функции у = 2x на ось Y найти область изменения функции.
5) Установить с помощью таблицы и графика, что функция у = 2x возрастает на всей области ее определения. Где эта функция возрастает быстрее: ближе к оси Y или дальше от нее; справа или слева? Убедиться, что равным приращениям аргумента х соответствуют неравные приращения функции у.
6) Путем вычисления показать, что функция у = 2x возрастает неограниченно.
7) Показать, что: а) при х < 0 у < 1; б) при х = 0 у =1; в) при х > 0 у > 1.
8) Определить по графику значения функции у для следующих значений аргумента х: —3; —1,5; —0,5; 0; 1; 2; 2,5. Результаты проверить вычислением.
9) Найти значения аргумента х, при которых функция у принимает значения, равные 1/8; 1/2; 1; 2; 2,5.
1946. Дана показательная функция у = (1/2)x.
1) Исследовать данную функцию по плану предыдущей задачи.
2) Указать общие свойства функций: у = 2x и у = (1/2)x. Каково различие свойств этих функций?
3) Показать, что графики функций у = 2x и у = (1/2)x симметричны относительно оси Y.
1947. Исследовать следующие показательные функции:
1) у = 3x и у = (1/3)x;
2) у = (3/2)x и у = (2/3)x
3) у = 10x и у = (1/10)x.
1948. Построить график функции у = 2x— 1 и провести исследование:
1) найти область определения функции:
2) при каких значениях аргумента х функция у > 0;
3) чему равно значение функции у, если х = — 2; 1/2; 3;
4) при каком значении аргумента х функция у = 8; 4; 3;
5) какая разница в графиках функций: у = 2x и у = 2x— 1;
6) при каких значениях х функция у = 2x— 1 больше 2;
7) при каких значениях х функция у = 2x— 1 больше 1, но меньше 2.
1949. 1) На одном и том же чертеже построить схематически графики
следующих функций: у = 10x; у = 2x; у = 1x; у = (1/2)x; у = (1/10)x (рис. 65).
2) Как график показательной функции аx располагается относительно прямой у = 1 при а > 1; 0 < а < 1?
3) Сравнить значения функции ax c l при различных значениях аргумента х, если:
а) а > 1; б) 0 < а < 1.
4) Как располагаются графики показательных функций
а) у = 10x и у = 2x, б) у = (1/2)x и у = (1/10)x относительно друг друга при значениях
х < 0; х = 0; х > 0?
1950. Даны показательные функции: ;
1) у = 2x ; 2) у = 3x— 1; 3) у = 0,53x;
4) у = 2 • 4x+ 1; 5) у = с • аx.
Убедиться, что при значениях аргумента х = 0; 1; 2; 3; 4; ..., образующих простейшую арифметическую прогрессию, соответствующие значения функции у образуют геометрическую прогрессию.
В каждом случае найти знаменатель геометрической прогрессии.
1951. Используя шаблон графика функции у = аx (а > 1), построить графики следующих функций: 1) у = а—x ; 2) у = — аx.
1952* Какие значения аргумента х являются допустимыми для функций:
2) Какие из следующих степеней больше единицы, равны единице или меньше единицы:
3) Сравнить по величине числа т и п, если:
( 2/3 )m > ( 2/3 )n ; (1 2/3 )m < ( 1 2/3 )n ;
( 2,3 )m > (2,3 )n ; ( 8/3 )m > ( 8/3 )n ;
( 0,7 )m < ( 0,7 )n ; ( 4/5 )m < ( 0,8 )n ;
4) Какое заключение можно сделать относительно показателя степени т, если:
а) (0,2)m = 1/25; б) ( 2/3 )m = 3/4 в) ( 2/3 )m = 4/3; г) 10m = 0,1; д) 10m = 35; е) ( 5/3 )m = 0,2?
5) Какое заключение можно сделать относительно положительного основания а, если:
1953. Пользуясь набором шаблонов графиков функций, решить графически следующие уравнения:
1) 2x = х; 2) 2x = х2; 3) 2x = х3;
4) 2x = sin x:; 5) 2x = cos x; 6) 2x = — х2 +1;
7) —2x = sin x; 8) 2—x = cos x; 9) 2—x = — х + 3.
ОТВЕТЫ
