9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

§ 34. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

1954. Следующие равенства записать в виде логарифмических равенств:

1) 10² = 100;      2) 3³ = 27;         3) 5⁴ = 625;         
4) 2^{— 4} = ¹/₁₆;     5) 3^{— 3} = ¹/₂₇;    6) 4^{— 2} = ¹/₁;

1955. На основании определения логарифма проверить следующие равенства:

1956. Дана логарифмическая функция    у = log₂ x.

1) Заполнить таблицу значений функции у, давая аргументу х следующие значения:

2) Построить ряд точек, соответствующих числовым значениям функции у = log₂ x. Почему эти точки можно соединить плавной кривой? Сравнить полученный график с чертежом (рис. 66).

3) Проектируя график функции  log₂ x на ось X, найти область определения функции; проектируя график на ось Y, определить область изменения функции.

4) Установить с помощью таблицы и графика, что функция  у = log₂ x возрастает на всей области ее определения. Убедиться, что равным приращениям аргумента соответствуют неравные приращения функции. Где эта функция возрастает быстрее: ближе, к прямой х = 1 или дальше от нее; слева или справа?

5) Вычислением показать, что функция  у = log₂ x  возрастает неограниченно.

6) Показать, что:
а) при 0 < х < 1 функция у < 0; ;:
б) при х = 1 функция у = 0;
в) при х > 1 функция у > 0.

7) Определить по графику значения функции у для следующих значений аргумента х: ¹/₃; 1; 1,5; 3; 5.

8) Найти значения аргумента х, при которых функция принимает значения, равные
—2,5; 0; 1,5; 2,5.

9) Убедиться, что графики функций  у = 2^x и у = log₂ x симметричны относительно прямой у = х.

1957. Дана логарифмическая функция  .

1) Исследовать эту функцию по плану предыдущей задачи.

2) Указать общие свойства функций: у = log₂ x и . Каково различие свойств этих функций?

3) Показать, что графики функций у = log₂ x и  симметричны относительно оси X.

4) Измерением убедиться в том, что графики функций  у = (¹/₂)^x и  симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

1958. 1) Какое значение принимает функция у = log_a x при х = 1; при х = a?

2) Для каких значений аргумента х соответствующие значения функции у = log_a x положительны и для каких отрицательны? Рассмотреть случаи: а > 1; б) 0 < а < 1.

1959. Даны функции:

а) ;        б) у = log₂ x;            в) у = log₃ x;          г) у = log_0,1 x;
д) у = lg х; е) у = ln х.

1) Назвать среди данных функций возрастающие функции, убывающие функции.

2) На одном и том же чертеже начертить от руки графики данных функций и отметить характерные особенности в расположении этих графиков относительно друг друга.

1960. 1) Имея шаблон графика функции у = 2^x, построить на одной и том же чертеже графики следующих функций:

а) у = 2^x; б) у = log₂ x; в) ; г) у = —  log₂ x.

2) Доказать тождественность функций:  и   у = —  log₂ x

1961. Используя набор шаблонов графиков функций у = 2^x; у = х²; у = sin x, решить графически уравнения:

l) log₂ x = — x;                 2) log₂ x = (¹/₂)^x;
3) 2 log₂ x = — 2х + 3;     4) log₂ x = sin x;
5)   = cos x;           6) log₂ x = — x²

1962. Какое значение аргумента х является допустимым для следующих функций:

1) log_a √x;             2) log_a (—x);           3) log_a (x — 1);
4) log_a (x + 1);      5) log_a (x² — 1);      6) log_a (x² + 1);
7) log_a x²;              8) log_a sin x;             9) lg cos x;
10) lg tg x;            11)  ¹/_{lg x}                 12) lg | x |;
13) 2 lg x + 3 lg (x + 2);                      14) lg (x — 1) + 2 lg (x + 1);
15) lg  √5 — x + lg √1 — x;               16) lg lg x.

1963* 1) Между числами т и п поставить знак > или <, если из вестно, что:

a)  т >  п;    б) log₂ т > log₂ n;     в) log_2,5 т < log_2,5 n;  г) log_0,2 т < log_0,2 n.

2) Какое заключение можно сделать относительно числа т если известно, что:

a)  т = — 0,5; б) log₃ т = 1,5; в)  log_0,2 т = ⁴/₃;    г) log_2,4 т = — 0,2?

3) Сравнить с единицей число а, если известно, что:

a)  log_a 0,2 = 3; б)  log_a 0,2 = — 3;   в)  log_a 0,5 >  log_a 0,4;     г)  log_a ²/₃ > log_a 1.

Решить неравенства:

ОТВЕТЫ