9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

§ 35. ЛОГАРИФМЫ

1968. 1) Чему равен логарифм 8 по основанию 2?
2) Чему равен логарифм 100 по основанию 10?
3) Какое число имеет логарифм 3 при основании 3?
4) Какое число имеет логарифм 4 при основании 10?
5) При каком основании логарифм числа 81 равен 4?
6) При каком основании логарифм числа 81 равен 2?

1969. 1) Найти: a) log₇ 49; б) log₃  ¹/₂₇; в) log₁₀ 0,001.
2) Найти логарифмы числа 729 при основаниях 27; 9; 3; ¹/₃ ; ¹/₉ ;  ¹/₂₇.
3) Найти логарифмы чисел ²/₅; ²⁵/₄; 1; ⁴/₂₅; ⁸/₁₂₅ при основании ⁵/₂

1970. Найти:

1971. Вычислить:

1) log₂ sin 225°;                                     2) log₃ tg 225°;
3)  cos315°;                                 4) log₅ ctg 495°;
5) log₄ sin ^π/₄;                                        6)  log₁₀  tg ^π/₄ ;
7) log₈ sin 150°;                                    8) log₂ cos 120°;
9) log₂ sin ^π/₂ —  tg ^π/₄;             10) log₃ 1 — log₄ ctg ^π/₄ • .log₅ cos 0.
10) log₂ sin ^π/₆— log_√3  tg ^π/₆;             11) log_√2  sin ^π/₄ — 2 cos ^π/₄.

1972. Найти число х, если:

1) log₂ x = 3;                 2) log₂ x = — 3;                3) x = 5;
4) x = — 5;        5) log_√3  x = 7;                  6) log_√3  x = — 3;
7) log_a x = a;                 8) log₂ x = 0;                     9) log_0,1 x = — 1.

1973. Найти числа, логарифмы которых при основании 3 равны — 3:
—1; 0; ¹/₃; ¹/₂; 1; 3; 5.

1974. Найти основание х, если:

1) log_x 2 = 2;                                2) log_x N = N;
3) log_x 243 = 5;                            4)  log_x ¹/₂₄₃ = — 5;
5) log_x 3³/₈ = —3;                        6) log_x 2√2 = ³/₄;
7) log_x 2 ³√2 = — 6;                    8) log_x ⁵√2 = —³/₅;
9) log_x ¹/₂ 3_√2    = — 0,8;           10) log_x ¹⁰√3 = — 0,1.

1975. Между какими целыми числами заключаются следующие логарифмы: 1

1) log₁₀ 50;      2) log₂ 10;         3) log₂ 0,5? |

1976. Представить:
1) 2 в виде степени числа 3;
2) 10 в виде степени числа 2;
3) a (a > 0) в виде степени числа b (b > 0, b =/= 1).

Вычислить.

1977.
1) 2;             2) 3 ;                3) 5;
4) 49 ;           5) 25;           6) 64

1978.
1) 2;       2) ( ¹/₃ );          3) 1,25;
4)  a +  ( ¹/_a )

1979.
1) 3;            2) 2;           3) 4;
4) 2;            5) 1,5;       6) 5

Найти х:

1980.
1) x = 10;                 2) x = 8;
3) x = 2.                    4) x = 10
5) x = 10;                  6) x = 100

1981.
1) x = a ;         2) x = a ;         3) x = a  
4) x = 9;         5) x = 4

1982.
1) x = 2 • 100 ;                 2) x = 100

3) ;                      4) x = 36 + 25.

1983.
1). log_x 2 ³√2 = — 2;                 2) log_x 0,0625 = — 4;
3) log_√2   2 ⁴√2  = x;                   4)  log₃ 3_√3   x = — 2,25.

1984.

1) log ₂ 5_√2   ¹/₈ = x;                     2) log₃ 4_√3  x = — —;
3) log₂ 4_√5   x = — 4;                     4) log₄ 4_√4   2^{— 6} = x

1987. Найти х из уравнений:

1) log_{(x — 2)} 9 = 2;                        2) log_{(3 — x)} 2 (x² + 2x — 1) = 2;
3) log_{(x — 2)} (x³ — 14) = 3;         4) log₂ (x²  + 6x  + 17) = 3.

1988. При каком соотношении между числами а и b имеют место равенства:

1) 1оg_{(2b — а)}(2а — b) = 1;         2) log_k (2a — b) = 0.

1989. Решить уравнения:

1) 5 • log₂ x = 3 log₂ x + 6;
2) 2 • log₃ x —3 1og₉ 81 = 5 log₃ x;
3) (log₃ x)²— 6 1og₃ x + 9 = 0;
4) (log₂ x)² — log₂ x— 6 = 0;
5) 3 1og₂² x + 7 1og₃ x — 6 = 0.

1990. 1) Пользуясь логарифмическим тождеством , вывести формулу перехода от одной системы логарифмов к другой:

2) Показать, что

1991. Доказать равенства:

1) log_a N = log_a2 N²;                   2) log_a N = log_√a  √N.

1992. Вычислить без таблиц:

1993. Решить уравнения:

1) log₂ x + log₄ x + log₈ x = 11;
2) log₆₄ x + log₈ x = 0,5;
3) log₈₁ x + log₉ x + log₃ x = 3,5;
4) log_a x — log_a2  x +  log_a4  x = ³/₄,

1994. Найти величину дроби:

1995. 1) Известно, что log_a N = b. Найти .
2) Найти log_0,1 3, если lg 3 ≈ 0,477.
3) Вычислить log₂ N + N.

1996. 1) Зная, что  log_a N = b, найти log_a ¹/_N.
2) Вычислить  log_a N +  log_a ¹/_N.
3) Какой зависимостью связаны т и п, если log_a m = — log_a n?

1997. Доказать, что разность между логарифмами двух последовательных натуральных чисел убывает по мере возрастания этих чисел.

ОТВЕТЫ