9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 36. ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ
1998. Пользуясь логарифмическим тождеством , вывести следующие формулы логарифмирования:
1999* Известно, что log102 ≈ 0,3010, log103 ≈ 0,4771 и log10 5 ≈ 0,6990. Найти при том же основании логарифмы следующих чисел:
1) 6; 8; 10; 12; 15; 16; 18;
2) 0,2; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 0,15;
3) 2/3; 3/5; 5/8; 1 3/5; 2 2/5 .
2000. Как изменится логарифм данного числа при основании а > 1, если:
1) число возвести в квадрат;
2) извлечь из данного числа квадратный корень;
3) число уменьшить вдвое;
4) число увеличить в а раз?
Ответить на те же вопросы, полагая, что основание 0 < а <1.
2001. Как изменится разность loga х — loga y, если х и у заменить на 5х и 5у?
2002. Найти ошибку в «доказательстве» утверждения 1 > 2.
1/3 > 1/9 ; 1/3 > (1/3)2 ; loga (1/3) > 2 loga (1/3) ; 1 > 2.
Прологарифмировать следующие выражения1):
______________
1) В примерах 2003—2028 буквенные выражения обозначают положительные числа.
2003. 1) х = 2аb; 2) х = 3а (b + с); 3) х = 4 (а2— b2);
4) Q = cm (t2 — t1); 5) а = с sin α ; 6) b = 2а cos α .
2012. В следующих примерах
а) произвести логарифмирование и результат упростить;
б) предварительно упростить выражение, а затем прологарифмировать.
Результаты сравнить:
_________________
1) В примерах 2015 — 2031 основание логарифма — произвольное положительное число, не равное единице; для краткости оно не указано.
2017. Привести к виду, удобному для логарифмирования, и прологарифмировать следующие выражения:
1) х = 3 — 4 sin2 α (0°< α < 60°);
2) х = 1 — 2 sin2 α (0° < α < 45°);
3) х = (sin α — sin β)2 + (cos α — cos β)2, где α — β =/= 2πk;
4) х = sin2 (α + β)— sin2 (α — β), где 0°<α < 90° и 0°< β < 90°.
Произвести потенцирование.
2018. 1) log x = log N1 + log N2; 2) log x = log N1 — log N2;
3) log x = m log N; 4) log x = 1/m log N.
2019. 1) log x = 3 log m + 4 log n; 2) log x = 2 log a — 3 log b;
3) log x = 2/3 log a; 4) log x = 3/4 (log a + log b) ;
5) log x = log 2 + log sin α + log cos α;
6) log x = log sin β — log cos β + log ctg β.
2020. 1) log x = 2 log a — 3 log b + 4 log c;
2) log x = — log a — 2 log b — 3 log c;
3) log x = 2 log (a + b) — 3 log (a — b);
4) log x = 1/3 log (a — b) — 1/2 log (a + b);
5) log x = log (1 + sin α) + log (1 — sin α).
2021. 1) log x = — 2 log (m + n) — 3 log (m — n);
2) log x = 2/3 log a + 3/2 log b;
2022. 1) log x = 2/3 log (a + b) — 1/2 log (a — b) — 1/2 log a;
2) log x = — 1/2 log (m — n) + 2/3 log (m + n) — 3/4 log m;
3) log x = 2/3 (log m — log n) — log (m — n);
4) log x = 3/4 (log m + log n) + log (m + n).
2023. 1) log x = 2 log (a + b) + 2/3 (2 log a + 3 log b);
2) log x = 1/4 log (r + s) — 3/4 (5 log r + 3 log s);
4) log x = — log 100 — 1/2 log a — 2 log b.
2024. 1) 31og t + 1/3 log s = log 10; 2) 3/4 log x — log 5√z = 0;
3) 2 log x = — log (6 — x2);
4) log x = — log 1000 + 2 log (a + b) — 31og (a — b).
2025. Вычислить x, если:
1) log x = 1/2 log 9 —log 5 + log 2;
2) log x = 2/5 log 32 — 1/3 log 64 + log 10;
3) log x = 1/2 (9 1og 2 — 3 log 4);
4) log x = 3 log 5 — 2 log 25 — log 10.
2026. Вычислить 1 — 2x, если:
1) log x = 2 log sin α/2 и α = 60°;
2) log x = 2 log cos α/2 и α =120°.
2027. Найти x по данному его логарифму.
1) log x = k log (r + s) — 1/k log (r — s) + log r;
2) log x = — 1/k log (a + b) — k log (a — b) — log a;
3) log x = 2 log a + 1/2 [ log (a + b) + 1/2 log (a — b) — log a — log b ]
4) log x = 3/4 [ log a + 2/3 log (a + b) — 3 log (a — b)— 1/2 log b].
2028. Найти x по его логарифму, предварительно упростив правую часть равенства:
1) log x = log s — 2 log r + 2/3 [ log s + 3/2 log (a + b) — 3/2 log (a — b) — log r];
2) log x = 2/3 [5 log a + 2,5 log b — 2 (log a — log b) — log (a — b)] — log (a — b);
3) log x = 3/4 { 3/2 log r + 2 log s + 2/3 [log (r — s) — 3 (log r + log s)]};
4) log x = 11/3 {1/2 log b + 3/4 log a — 1/4 [5 ( log а + 1/2 log b ) — log (a + 2b)]}.
2029. Дано: log x = log sin α + log cos (α + β) и log y = log cos α + log sin (α — β).
Найти x — у, если α = 45° и β = 30°.
2030. Вычислить 1— х + у, если
log x = log 2 + log cos α ; log y = log (cos α + sin α ) + log (cos α — sin α ) и α = π/6 .
2031. Вычислить x, если
log x = log tg 1° + log tg2° + log tg3° + ... + log tg88° + log tg89°.
ОТВЕТЫ
|