9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

§ 37. ДЕСЯТИЧНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

2032. Найти десятичные логарифмы следующих чисел:

1) 10; 100; 1000; 10 000; 10⁶; 10ⁿ;
2) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 10^—8; ¹/₁₀n.

2033. Десятичные логарифмы каких простых чисел надо знать, чтобы найти десятичные логарифмы чисел    

2034. Показать, что десятичный логарифм любого натурального числа, не являющегося степенью 10 ( N =/=10^k, где k — целое число), не может быть рациональным числом.

2035. 1) Найти характеристики десятичных логарифмов следующих i чисел:

а) 5; 5,25; 45; 13,6; 28,071; 256; 256,8; 480,09; 2000;
б) 0,3; 0,04; 0,068; 0,00128; 0,2005; 0,0303; 0,5067.

2) Сколько существует таких целых чисел, характеристика логарифмов которых равна 1, 2, 3?

2036. 1) Показать, что от переноса запятой в десятичной дроби мантисса ее логарифма не изменится.

2) Известно, что lg 15 ≈ 1,176. Найти логарифмы чисел 150; 1500; 15000; 1,5; 0,15; 0,00015.

2037. Что больше: lg 0,005 или lg 0,006?

Найти десятичные логарифмы чисел с помощью логарифмической линейки и по таблицам:

2038. 1) 2;         2) 5;           3) 9;            4) 17;
          5) 69;       6) 123;       7) 234;        8) 350;
          9) 304;   10) 589;     11) 801;      12) 999.

2039.  1) 0,3;              2) 0,015;           3) 3,4;                        4) 20,5;
           5) 0,236;          6) 0,595;           7) 0,0019;                  8) 0,0624;
           9) 3,05;          10) 0,208;         11) 0,0000398;          12) 0,000999.

2040.  1) 2436;             2) 3978;               3) 1209;                   4) 8095;
           5) 29,57;            6) 1,397;              7) 1,009;                  8) 0,5007;
            9) 0,04697;     10) 0,0598;          11) 0,0001594;        12) 0,008909.

2041. 1) 28,859;           2) 47325;           3) 102,53;               4) 1,3927;
          5) 0,49832;         6) 898,39;          7) 0,063987;           8) 0,0049058.

2042. Найти (по таблицам и по линейке) числа, соответствующие следующим логарифмам:

1) 2,5481;          2) 1,3193;         3) 2,5327;         4) 4,2456;
5) 3,3143;          6) 4,2980;         7) 1,7307;         8) 1,0030;
9) 1,0101;         10) 3,0093;       11) 0,5719;       12) 5,9090.

2043. Следующие логарифмы выразить отрицательными числами:

1) 1,3214;           2) 2,3492;           3) 3,8436;           4) 4,9547;
5) 5,9839;          6) 1,8935;            7) 3,0009;           8) 2,9999;
9) 1,0001;         10) 6,0035;         11) 2,0307;         12) 3,3033.

2044. Преобразовать в искусственную форму логарифмы:

1) — 0,2376;          2) —1,2439;           3) —2,7453;           4) — 4,5398;  
5) —1,5937;           6) — 0,2364;          7) —2,0235;           8) —3,6053;
9) —2,5701;         10) — 0,5320;        11) —1,0001;         12) — 0,9999.

Выполнить указанные действия над логарифмами:

2045. 1) 0,2937 + 1,3452;                       2) 2,0304 + 1,9324;
          3) 1,5724 + 1,642;                         4) 3,8751 + 0,7569;
          5) 1,3423 — 1,1827;                     6) 1,1843 — 2,3579;
          7) 2,5296 — 1,7612;                     8) 3,2486 — 4,5497;
          9) 0,1834 — 2,3948;                   10) 0,3751—3,6547;
        11) 1,0034 —1,9923;                    12) 3,0001— 4,9999;
        13) 1 — 1,5647;                            14) 2— 0,1958.

2046. 1) 1,2354 • 3;                                    2) 1,6742 • 2;
          3) 2,0324 • (—2);                             4) 0,3124 • (—1,2);
          5) 1,2738 • 0,3;                                 6) 1,2957 • (—0,4);
          7) 3,8765 • ³/₄;                                  8) 2,3456 • ²/₃;
          9) 1,4576 • (— ²/₅);                          10) 0,5648 • (— ³/₅).

2047. 1) 4,5628 : 2;                         2) 3,3142 : 2;
          3) 2,8976 : 3;                         4) 1,2437 : 3;
          5) 4,1234 : 5;                         6) 6,8473 : 4;
          7) 1,2437 : (—2);                   8) 2,5435 : (—3);
          9) 1,8543 : (—0,2);              10) 1,5648 : (—2,6).

2048. Решить уравнения:

1) 10^x = 5,2;                      2) 10^x = 0,235;
3) 10^2x = 0,035;                4) 10^—x = 64,8;
5) lg x = 1,832;                  6) 2 lg x =1,358.

2049. Заменить вычитание сложением:

1) т — 0,8342;            2) т — 1,2372;
3) т — 2,5431;            4) т — 0,9999;
5) т — 1,3456;            6) т — 2,0001.

2050. Известно, что lg 5 ≈  0,6990. Найти:

1) lg 2;               2) — lg2;              3) lg ¹/₂;            4) lg ¹/₅;
5) lg 0,05;          6) — lg 0,005;      7) lg 0,4;           8) — lg 0,4.

2051. Известно, что lg 2 ≈  0,3010. Сколько цифр в числах 2¹⁰, 2¹⁰⁰?

Вычислить при помощи таблиц логарифмов:

2059. 1) Вычислить при помощи логарифмической линейки произведения:

а) 37,2 • 2,13;       б) 0,243 • 38,5;         в) 0,0531 • 25,4;         г) 4,35 • 5,7.

2) Дать обоснование умножения двух чисел оибна линейке, когда метка множителя не выходит за пределы шкалы корпуса линейки (рис. 67). Как найти мантиссу и характеристику логарифма произведения?

3) Как найти мантиссу и характеристику логарифма произведения, когда метка множителя выходит за пределы шкалы корпуса линейки?

2060. 1) Вычислить при помощи логарифмической линейки:

2) Дать обоснование деления двух чисел а и b на линейке, когда начальная метка движка не выходит за пределы шкалы корпуса.

3) Если начальная метка движка выйдет за пределы шкалы корпуса, то частное можно прочитать на основной шкале корпуса под конечным делением движка. Обосновать это.

2061. 1) Вычислить при помощи логарифмической линейки:

           а) 1,243²;       б) 0.357³;        в) 3,021⁴;         г) √173;        д) ³√0,0342

2) Если на основной шкале линейки засечь визиром метку а, то на шкале квадратов (.кубов) под визиром можно прочесть первые  значащие цифры квадрата (куба) числа а. Дать обоснование этой операции.

3) Hа какой подшкале квадратов (кубов) следует взять визиром подкоренное число, чтобы на основной шкале под визиром прочесть первые значащие цифры квадратного (кубичного) корня; привести примеры. Обосновать это действие.

Вычислить при помощи логарифмической линейки.

В следующих задачах вычисления произвести с помощью счетной линейки:

2069. 1) Найти площадь S правильного треугольника, сторона которого а = 2,34 м, если .

2) Пользуясь формулой S= √ p(p — а) (р — b) (р — с), найти площадь S треугольника по трем его сторонам: а = 3,54 м, b = 5,72 м, с = 6,01 м, где р — полупериметр треугольника.

2070. 1) Определить диаметр круга, площадь которого равна 12,4 дм².
2) Вычислить площадь кольца, внешний диаметр которого равен 5,24 см, а внутренний диаметр 4,76 см.

2071. 1) Найти диагональ куба, площадь диагонального сечения которого равна
24,5 дм².
2) Определить площадь диагонального сечения куба, полная поверхность которого равна 0,123 м².
3) Найти ребро куба, объем которого в три раза меньше объема другого куба с ребром 2,78 дм.

2072. Вычислить вес стальной трубы длиной 3,75 м, если внешний и внутренний диаметры ее равны соответственно 155 мм и 135 мм (удельный вес стали - 7,96 кГ/дм³).

2073. Зная, что объем шара вычисляется по формуле v = ⁴/₃πR³, найти вес чугунного полого шара, если внешний и внутренний диаметры его соответственно равны 100 мм и 90 мм (удельный вес чугуна - 7,13 Г/см³).

2074. 1) Используя метку С на основной шкале счетной линейки, вычислить объем цилиндра по формуле v = (^D/_C)²• H, если:

а) D = 20,3 дм,  Н = 4,5 дм;
б) D = 1,24 м, H = 0,54 дм;
в) D = 1,05 м, Н = 2,07 дм.

2) Моток медной проволоки диаметром 4 мм весит 20,5 кГ. Найти длину проволоки, если удельный вес меди 8,75 Г/см³.

2075. Пользуясь формулой Q = 0,24I²Rt, рассчитать количество Q тепла в малых калориях, выделяемое за время t = 125 сек током I = 0,45 A, проходящим по проводнику с сопротивлением R = 2,5 ом.

2076. 1) Высота места h (м) над уровнем моря при t = 10°С вычисляется по формуле
h = 19080 lg ⁷⁶⁰/_p,  где р —давление воздуха в миллиметрах ртутного столба. Определить h, если р = 406,4 мм.

2) Найти давление на высоте 10 км, если средняя температура t = 10°С .

Найти по таблицам.

2077. 1) lg sin30°;                     2) lg sin 78°;                3) lg sin20°12';
          4) lg sin 72°48';               5) lg sin 50°18';           6) lg sin 50°20';
          7) lg sin 45°29';               8) lg sin 14°51';           9) lg sin 11°20';
        10) lg sin 11°23';             11) lg sin 9°06';           12) lg sin5°44';
        13) lg sin 5°45';               14) lg sin 0°38'.

2078. 1) lg cos15°12';               2) lg cos 75°42';           3) lg cos 40°24';
          4) lg cos 40°25';              5) lg cos 62°35';           6) lg cos 73°33';
          7) lg cos 80°35';              8) lg cos 84°13';           9) lg cos 89°20';
        10) lg cos 89°26'.

2079. 1) lg tg 20°42';               2) lg tg 63°12';             3) lg tg 30°32';
          4) lg tg 55°40';               5) lg tg 41°17';             6) lg tg 84°18';
          7) lg tg 5°48';                 8) lg tg 45°.

2080. 1) lg ctg 35°24';             2) lg ctg 35°25';            3) lg ctg 26°38';
          4) lg ctg 75°47';             5) lg ctg 86°23';            6) lg ctg 84°13';
          7) lg ctg 0°34';               8) lg ctg45°.

Найти острый угол х, если дано значение функции.

2081. lg sin x ≈ 1) 1,6259;           2) 1,7795;           3) 1,8868,'
                         4) 1,9777;           5) 1,4350;           6) 1,4359;
                         7) 1,8377;           8) 1,9703;           9) 1,1157;
                       10) 1,3040;         11) 2,4414;         12) 1,0021;
                       13) 2,9477;         14) 3,8700;         15) 1,9999.

2082. lg cos x ≈ 1) 1,8081;            2) 1,8830;             3) 1,8855;
                          4) 1,8817;            5) 1,8815;             6) 1,6332;
                          7) 1,3947;            8) 1,7643;             9) 1,3331;
                        10) 1,3810;          11) 1,0046;           12) 2,8720.

2083. lg tg x ≈ 1) 1,9924;          2) 0,3333;            3) 0,1615;
                       4) 1,7520;          5) 1,4139;             6) 2,9211;
                       7) 2,8130;          8) 1,0008;             9) 1,6750.

2084. lg ctg x ≈ 1) 1,9238;           2) 0,1467;            3) 0,1462;
                         4) 1,4016;           5) 0,3869;             6) 1,6990;
                         7) 1,3318;           8) 1,0055;             9) 2,3333.

Вычислить с помощью таблиц логарифмов следующие выражения.

2099. Углы какой величины охватывает шкала синусов; шкала тангенсов; шкала синусов и тангенсов малых углов?

2100. На сколько участков разделена шкала синусов; на сколько частей разделен каждый градус в этих участках? Какова цена деления на каждом участке?

2101. Отметить визиром бегунка на шкале синусов следующие деления:

1) 10°; 20°; 30°; 40°; 50°; 60°; 70°; 80°; 90°;
2) 8°; 11°; 12°; 17°; 35°; 45°; 55°; 75°;
3) 21°; 34°; 27°; 46°; 54°; 62°; 68°; 77°;
4) 12°10'; 15°40'; 18°20'; 10°50'; 16°30'; 7°40'; 9°25'; 6°45'; 8°05'; 5°55';
5) 26°20'; 32°40'; 21°10'; 39°40'; 38°20';
6) 44°30'; 52°30'; 47°30'; 50°30'; 49°30';
7) 64°; 71°; 78°; 63°; 82°; 84°; 86°;
8) 8°,5; 11°,5; 17°30'; 42°30'; 24°20'; 13°50'; 7°25'; 21°20'; 21°40'; 21°30'; 37°50'; 51°40';
11°24'; 15°05'.

2102. Найти значение синуса данных углов при помощи логарифмической линейки; результаты сравнить с соответствующими значениями синуса, взятыми из таблиц (с округлением до третьего десятичного знака):

1) 40°;                    2) 25°;                      3) 36°;                    4) 19°;
5) 54°;                    6) 77°;                      7) 15°20';               8) 10°40';
9) 19°10';             10) 22°20';                11) 38°40';             12) 51°30';
13) 46°30';           14) 63°;                     15) 82°;                 16) 16°05';
17) 12°,5;             18) 35°50';                19) 7°25';               20) 16°15'.

2103. На логарифмической линейке найти положительные острые углы по заданным значениям синуса; результаты сравнить с соответствующими значениями угла, взятыми из таблиц (с округлением до десятков минут):

1) 0,423;         2) 0,242;          3) 0,843;         4) 0,175;           5) 0,387;
6) 0,306;         7) 0,116;          8) 0,955;         9) 0,606;          10) 0,495.

2104. При помощи линейки найти значения косинуса данных углов; ответы проверить по таблицам натуральных значений косинуса:

1) 20°;          2) 70°;          3) 16°;            4) 65°;           5) 38°;
6) 53°;          7) 17°40';     8) 54°30';        9) 9°05';      10) 72°.

2105. При помощи линейки найти положительные острые углы по данным значениям их косинусов; ответы проверить по таблице:

1) 0,270;       2) 0,583;       3) 0,132;         4) 0,326;         5) 0,745.

2106. Вычислить при помощи линейки:

1) arcsin 0,165;          2) arcsin 0,380;          3) arcsin 0,755;
4) arccos 0,407;         5) arccos 0,109.

2107. Какие деления содержит шкала тангенсов? Какова цена деления шкалы тангенсов на участке от ее начала (5°44') до 20° и от 20° до конца (45°)?

2108. Отметить визиром бегунка на шкале тангенсов

16°; 27°; 34°; 38°; 44°; 45°; 7°30'; 11°20'; 21°50'; 8°25'; 6°22'; 32°23'; 27°25'.

2109. Найти при помощи линейки:

1) tg 14°;            2) tg 28°;                3) tg 7°30';               4) tg 10°40';
5) ctg 9°35';       6) tg 72°30';            7) tg 8°37';               8) ctg 26°18';
9) tg 72°;         10) ctg 35°30';         11) tg 38°30';           12) ctg 26°45'.

2110. При помощи линейки найти положительный острый угол х, если:

1) tg x ≈ 0,364;          2) tg x ≈ 0,648;            3) tg x ≈ 4,60;
4) ctg x ≈ 0,505;        5) tg x ≈ 1,455;            6) ctg x ≈ 0,949;
7) ctg x ≈ 0,795;        8) tg x ≈ 0,864;            9) tg x ≈ 1,94.

2111. Вычислить при помощи линейки:

1) arctg 0,516;           2) arctg 0,960;          3) arcctg 1,76;
4) arcctg 0,724;         5) arctg 4,83;            6) arctg 20,8.

2112. Какова цена наименьших делений шкалы синусов и тангенсов углов на участках: от начала шкалы до 3°, от 3° до 5° и от 5° до конца шкалы?

2113. Какой числовой промежуток охватывает основная шкала линейки при нахождении значений синусов и тангенсов малых углов?

2114. Почему для продолжения двух шкал синусов и тангенсов употребляется одна и та же шкала (тангенсов и синусов малых углов)?

2115. Отметить визиром бегунка на шкале синусы и тангенсы следующих углов:

1°10'; 1°50'; 2°20'; 3°40'; 4°; 4°30'; 5°; 5°30'; 5°40'; 1°27'; 2°13'; 2°19'; 3°06'; 4°41'; 4°05'; 5°22'; 2°52',5.

2116. Найти при помощи линейки:

1) sin 3°; 2) sin l°20'; 3) tg 5°; 4) sin 3°20'; 5) tg 2°37'? 6) sin 4°05';
7) sin 1°12',6; 8) tg 4°30'; 9) sin 0°52',5.

2117. На логарифмической линейке найти положительный острый угол, если:

1) sin х ≈ 0,061;            2) sin x ≈ 0,0332;           3) sin x ≈ 0,0131;
4) sinx x ≈ 0,0301;        5) cos x ≈ 0,0447;          6) sin x ≈ 0,0465;
7) tg x ≈ 0,0787;           8) tg x ≈ 0,0419;             9) ctg x ≈ 14,3;
10) tg x ≈20,8.

2118. Вычислить при помощи линейки:

1) arcsin 0,0355; 2) arctg 0,0725; 3) arccos 0,0159.

Найти при помощи линейки:

2119. 1) sin² 8°55';  2) sin² 43°;   3) cos² 68°; 4) cos² 88°41'

2120. 1) tg² 10°; 2) tg² 37°20'; 3) ctg² 67°; 4) ctg² 79°55';

2121. 1) sin³ 11°20'; 2) sin³ 25°40'; 3) cos³ 44°; 4) cos³ 82° 10'.

2122. 1) tg³ 25°10'; 2) tg³ 75°30'; 3) ctg³ 6°05'; 4) ctg³ 40°20'.

2123. 1) 2,6 sin 54°; . 2) 18,3 sin 21°20'; 3) 55,2 cos 47°30'; 4) 4,65 cos 86°20'.

2124. 1) 0,75² • sin² 27°30'; 2) 30,6³ • sin³ 26°20'; 3) 5,5² • cos 42°30'; 4) 1,42³ • cos³ 73°50'.

2125. 1) √5,6 • sin 52°30';     2) √13,4 • cos 82°15';
          3) ³√8,2 • sin 21°10';    4) ³√0,325 • cos 68°10'.

2126. 1) l,6 tg 11°30'; 2) 2,42 tg 21°15'; 3) 26,2 ctg 78°40'; 4) 5,65 ctg 54°.

2127. 1) 5,4² • tg² 44°; 2) 10,8² • ctg² 77°40'; 3) 0,45³ • tg³16°; 4) 8,25³ • ctg³ 48°20'.

2128. 1) √82 •  tg 9°20'; 2) √5,45 • ctg 81°40'; 3) ³√1,8 • tg 38°; 4) ³√60 • ctg 57°.

ОТВЕТЫ