9 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

2182. Построить график функции у = 0,25^х. Пользуясь графиком,
а) ответить, что больше и на сколько: 4^{— 0,6} или 0,25^1,2;
б) найти с точностью до 1 значение у при х = — √2 ; значение х при у = 2,5.

2183. Исследовать функцию у = 2^х — 4 и построить ее/рафик. Какая разница между графиком функции у = 2^х и у = 2^х — 4?

2184. Найти значение r, при котором график функции у = х^r проходит через точку
А (³/₄; ¹/₄ ⁴√108).

2185. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций:

2191. Пользуясь графическим методом, найти действительные корни уравнения (с точностью до 0,1):

1) 2^х = х;         2) 2^х = х + 1;         3) 2^х = х + 2;           4) 2^х = х + 3.

2192. Решить неравенства: :;

2193. Построить график функции у = log₃ x. Пользуясь графиком, найти приближенные значения у при х = 2,5 и при х = 4,5;   х при  у = — 0,5 и при у = 1,5.

2194. Исследовать функцию у = log₂ (—x) и построить ее график. Какая разница между графиком функций у = log₂ (—x) и у = log₂ x?

2195. Построить график функции у = log₃ | x — 2 |.

2196. Возможно ли равенство:

1) lg sin x = sin x;   2) lg sin x = cos x?

2197. Найти область определения функции:

1) у = lg sin x; 2) у = √ lg cos x.

2198. Как изменяются функции 1) у = lg sin x и 2) у = lg cos x при возрастании аргумента х от 0 до ^π/₂?

2199. Вычислить (устно):

1) lg sin 30° • lg sin 45° • lg sin 60° • lg sin 75° • lg sin 90° • lg sin 120°;

2) lg tg 1° • lg tg 2° • lg tg 3° • ... • lg tg 49° • lg tg 50°;

3) lg (tg 40 • tg 41 • tg 42 • ... • tg 50°).

2200. Определить допустимые значения для х в функции

2201. При каких значениях х справедливы следующие равенства:

1) lg (х² — 10х + 25) = 2 lg (5 —  х);
2) lg (х² — 10х + 25) = 2 lg | х — 5 |?

2202*. Определить, при каких значениях х каждая из следующих функций:

а) принимает только положительные значения; б) принимает только отрицательные значения; в) не существует?

2203. Что больше:

Решить уравнения:

2204. 1) log_√2 x = 6;        2) log_x 0,125 = —2;            3) log_2√2   ¹/₆₄ = х.

2205. 1) log_{cos x} 2 = —2;              2) log_{tg x} √3 = —1.

2206. Показать, что

2207. Доказать, что lg (a + √a² —1) = — lg (a — √a² —1).

2208. Решить уравнение  log_{(2x — 3)}(3x²—7x + 3) — 2 = 0.

2209. Решить следующие неравенства:

1) log₂ (3x — 7)< 1;          2) (2x — 3) > 1;            3) log₃ | 2x—7 |< 1.

2210. 1)   (x² — 5x + 7) < 0;                         2) log₂ (x² — 3x) < 2;
          3) log₂ (x — 1) — log₂ (2x — 4) > 0;          4) lg² x — lg (x²) > 3.

2212. Вычислить:

2213*. Дано: lg 2 = а и lg 3 = b. Найти log₅ 6.

2214*. Вычислить:

2216. Вычислить без таблиц логарифмов

lg 5 • lg 20 + (lg 2)³.

2217. Дано: lg 196 ≈  2,2923; lg 56 ≈  1,7482. Найти lg 2 и lg 5, не пользуясь таблицами.

2218. Найти log₁₂ 45, если log₁₂ 2 = т и log₁₂ 5 = п.

2219. Найти х + у + z, если lg х = 4 lg cos β,   lg y = 2 lg sin β + 2 lg cos β,   lg z = 2 lg sin β.

2232. Решить уравнения:

2233. Три числа образуют геометрическую прогрессию. Сумма их равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3. Найти эти числа.

2234. Логарифмы одиннадцати последовательных членов геометрической прогрессии при основании 10 образуют арифметическую прогрессию. Первый член геометрической прогрессии в 100 раз меньше последнего члена. Сумма членов арифметической прогрессии равна 33. Найти крайние члены обеих прогрессий.

2235.

1) Указать множество допустимых значений х для функции

у = log_a (2x² + 5х — 3)    (а > 0, а =/= 1).

2) Определить, при каких значениях x функция

принимает только отрицательные значения.

3) Решить неравенство log₃ (4х — 9) < 1.

4) Определить х, если:

а) log_x 256 = — 1 ¹/₃ ;        б) log_(x—2)  (2x²— 11x + 16) = 2.

5) Вычислить

2236. 1) При каких значениях х функция

у = log_a (— 2x² + 5х + 3)

не существует, если а > 0 и а =/=1.

2) Определить, при каких значениях x функция

принимает только положительные значения.

3) Решить неравенство log₂ | 5х — 8 | < 1.

4) Определить х, если:

2237. 1) Пользуясь счетной линейкой, вычислить площадь круга, зная, что длина окружности равна 53,2 см.

2) Вычислить с помощью таблиц логарифмов:

2238. 1) Пользуясь счетной линейкой, вычислить площадь треугольника, зная длины его сторон: а =2,35 дм,  b = 3,46 дм, с = 4,57 дм.

2) Вычислить с помощью таблиц логарифмов:

V = 2R³ ( 1— sin α ) — sin (45°— ^α/₂) • tg α  • cos α       при R = 0,72; α  =72°.

3) Решить уравнения:

Задачи для контрольных работ

2239. Дана функция   у = (²/₃ )^х.
Найти: а) значение у при x = — 1,5; б) значение x при у = 1,5.
Построить график данной функции.
Пользуясь графиком, найти приближенное значение х при у = 0,5.

2) На основании определения логарифма проверить справедливость равенства

3) Найти допустимые значения аргумента x для функции

y = log ( ^x/₃ + 1) — log ( 1 — ^x/₃ )

4) Решить графически уравнение

log₂ х = — х — 0,5.

2240. 1) Дана функция у =  х.
Найти: а) значение у при х = 4; б) значение х при у = — 1,5.
Построить график данной функции.
Пользуясь графиком, найти приближенное значение у при х  = 3.

2) На основании определения логарифма проверить справедливость равенства

3) Найти допустимые значения аргумента x для функции

у = log₂ √2 — х + log₂ √x + 2.

4) Решить графически уравнение

2^х = х + 2.

2241. 1) Найти х, если:

2) Решить уравнение

log₁₆ x + log₈ x + log₄ х = 6,5.

3) Дано:  . Найти lg x, если известно, что lg m = p, a   lg  p = ¹/₃

4) Найти x по данному его логарифму:

lg x = ¹/₂ lg (a + b) — ²/₃ lg b —2 lg lg c.

5) Прологарифмировать следующее выражение, приведя его к виду, удобному для логарифмирования:

х = 1 + 2 sin α .

2242. 1) Найти х, если:

2) Решить уравнение

log₃ х + log_√3  х —   х = 6.

3) Найти lg x, если

4) Найти х по данному его логарифму:

x = ¹/₂ lg (a + b) — ¹/₃ lg a + ²/₃ lg b — lg (a — b).

5) Прологарифмировать следующее выражение, приведя его к виду, удобному для логарифмирования:

х = √3  — 2 cos α.

_______________

2243. 1) Вычислить при помощи таблиц логарифмов и правильность полученного результата проверить вычислением на логарифмической линейке:

2) Найти ребро куба, имеющего объем в два раза больший объема куба с ребром 2,4 см.

3) Вычислить с помощью таблиц логарифмов:

S = 2πа²  sin α cos² (45°— ^α/₂)  при а = 36,17;  α = 18°46'.

2244. 1) Вычислить при помощи таблиц логарифмов и правильность полученного результата проверить вычислением на логарифмической линейке:

2) Площадь прямоугольного треугольника равна 28 см²; один катет его втрое больше другого. Найти катеты.

3) Вычислить с помощью таблиц логарифмов:

_____________________

2245. 1) Решить показательные уравнения:

а) 5^х—1 = 10^х • 2^—х • 5^х+1;
б) 2^х—1 + 2^х—2 + 2^х—3 = 3^х—1 — 3^х—2 + 3^х—3;
в) 2^х+2 + 2^2х—1 = 3 • 8^х—1.

2) Решить логарифмическое уравнение

lg (3x² + 13) — lg (3x —5) = 1.

3) Решить неравенство

log₂ (5х — 2) > log₂ (7 — 2х).

2246. 1) Решить показательные уравнения:

а) 2^х—1 = 12^3х • 3^—2x • 2^х+1;
б) 2^х+2 — 2^х+1 + 2^х—1 — 2^х—2 = 9;
в) 3^х+2 + 3^2х—1 = 4 • 27^х—1.

2) Решить логарифмическое уравнение

lg (3x² — 7) — lg ( 3х — 7) = 1.

3) Решить неравенство

log_0,5  (5х — 2) <  log_0,5 ( 3 — 2х).

ОТВЕТЫ