Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 3. Сумма векторов

Пусть даны два вектора а = OA^> и b = OB^> (рис. 5).

От точки А отложим отрезок АС такой, что AС^> = b. Тогда,  вектор с = OС^> называется суммой векторов   а и b   и  обозначается а + b.

Таким образом, OA^> + AС^> = OС^>. Это равенство называют правилом треугольника сложения двух векторов.

Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.

Сложение    векторов    обладает   следующими    свойствами:

1.  Свойство   коммутативности   (перестановочности): для любых векторов а и b

а + b = b + а.                              (1)

2.  Свойство ассоциативности  (сочетательности): для любых векторов а, b и с

(а + b) + с = а + (b + с).                    (2)

1. Пусть a = OA^>, b = OB^>. Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках    ОА    и    ОВ   построим   параллелограмм ОАСВ (рис. 8).

Тогда   |ОА| = |ВС|,   (ОА) || (ВС)  и   |ОВ|  = |АС|,   (ОВ) || (АС),  как  противоположные стороны параллелограмма.    Следовательно,

а = OA^>= BC^>,    b  = OB^> = AC^>,

и поэтому

а + b = OA^>+ AC^> = OC^>,     b + а = OB^> + BC^> = OC^> ,

что и доказывает равенство (1).

Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство равенства (1) проведите самостоятельно.

2. От некоторой точки О отложим вектор OA^> = а, от точки А отложим вектор AB^> = b и, наконец, от точки В отложим вектор BC^> = с (рис. 9, 10).

Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),

(а + b) + с = (OA^> + AB^>) + BC^> = OB^> + BC^>= OC^>  

и, с другой стороны (см. рис. 10),

а + (b + с) = OA^> + (AB^>+ BC^>) = OA^> + AC^> = OC^>,

что и доказывает равенство (2).

Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = OA^>  и   b = OB^>  равна  направленной диагонали  OC^> параллелограмма  ОАСВ,  построенного  на  отрезках  ОА   и  ОВ, т.е.

OA^> + OB^> = OC^>.

Это равенство   называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.

Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.

Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.

Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.

Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что OA^> = а,
затем построим отрезок   АВ  такой, что AB^> = b, и т. д.

Построение продолжается до тех   пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок OD^>, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.

Задача   1. Дан   параллелепипед   ABCDA₁B₁C₁D₁.
                   Найти  сумму  векторов     (рис.12).

Из свойств ребер параллелепипеда   следует, что

Применив правило многоугольника, получим (рис. 13)

Задача  2. Найти сумму  KD^> + M C^> + DM^> + CK^>

Применяя    свойство    коммутативности   сложения векторов, получаем

 KD^> + M C^> + DM^> + CK^> = KD^> + DM^> + M C^> + CK^>.

Теперь по правилу многоугольника находим

KD^> + DM^> + M C^> + CK^> = KK^> = 0.

Задача  3. Дана треугольная пирамида ABCD (рис. 14).
                  Найти сумму   AB^> + CD^> + AC^> + BC^> + DA^>.

Применив коммутативное и ассоциативное свойства сложения векторов, получим

 AB^> + CD^> + AC^> + BC^> + DA^>    =    AB^> + BC^> + CD^> + DA^> + AC^>    =    AC^>.