Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 4. Противоположные векторы.  Вычитание  векторов.

Любые два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными. Вектор, протипоположный вектору а, обозначается — а. Следовательно, по определению

а + (— а) = 0.

Из определения следует, что если   а =  >, то — а = ВА>, т. е. противоположные векторы имеют одинаковую длину и противоположные направления.

Например, если ABCD — параллелограмм, то векторы > и СD> противоположные   (рис.   15).  Векторы   AD> и СB>    тоже противоположные.

Для любых двух векторов а и b вектор с = а + (— b) называется разностью векторов а и b и обозначается аb. Таким образом, по определению

аb =  а + (— b).

Если а =  OA> и b OB> (рис. 16), то

аb = OA> — OB> = OA> + BO> = BO>+ OA> = BA>.

Следовательно,

OA> — OB> = BA>                          (1)

Из рисунка видно, что BA> — это направленная диагональ параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ. Другая диагональ OC> изображает сумму векторов OA> и OB>.

Нетрудно заметить, что формулу (1) можно применять, не прибегая к чертежу: для этого достаточно внимательно проследить за порядком расположения букв в записи данных и искомого векторов. Так, например,

                       (2)

Задача.   Дан четырехугольник ABCD такой, что

AD> = AC> — AB>.      

Доказать,    что    ABCD — параллелограмм.                                          

По формуле (2) имеем

  AC> — AB> = BC>.

Следовательно, BC> = AD>, и поэтому |BC>| = |AD>| и (BC) || (AD). Отсюда следует, что ABCD — параллелограмм (рис. 17).

Используются технологии uCoz