Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 5. Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число х =/= 0 называется вектор, длина которого равна | x | • | а |, а направление совпадает с направлением а, если х > 0, и противоположно ему, если х < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число х и произведением любого вектора на число нуль называется нулевой вектор.

Произведение вектора а на число х обозначается х • а   (числовой   множитель   пишется   слева).   

Согласно определению   | x •  а | =  | x | • | а |  для любого вектора а и любого числа х.

На рис. 18 изображены произведения вектора а на число х = 2  (вектор  CD^>)  и на число х = —2  (вектор  EF^>).

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1.  Свойство ассоциативности (сочетательности):

х • (у • а) = (х • у) • а.

2.  Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно векторного множителя:

х • а + y • а = (х + у) • а.

3.  Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно числового множителя:

х • а + х • b = х • (a + b).

Если a = 0 или ху = 0, то равенство х(уа) = = (ху)а очевидно, так как слева и справа стоят нулевые векторы.

Пусть а =/= 0, ху =/= 0 и а =  OA^>. Тогда векторы х (у • OA^>) и (ху) OA^> лежат на прямой OA^>, имеют длину |x| • |y| • |OA^>| и направлены в одну сторону: в сторону вектора    а = OA^>, если ху > 0, и в противоположную сторону,   если   ху < 0.   Таким образом,   свойство   1   доказано.

Свойства 2 и 3 доказывать не будем. Заметим лишь, что свойства 1 и 2 являются свойствами векторов на прямой. Они уже доказывались в курсе геометрии восьмилетней  школы.   Свойство  3  является   свойством векторов на плоскости; оно тоже было доказано.

Задача. В параллелограмме ABCD точка М есть точка пересечения диагоналей. Найти множитель k в каждом из следующих случаев:

1)     M C^> = k •  CA^>;   2)    BD^> = k •  BM^>;   3)    AC^> = k •  CM^>;

4)    BB^> = k •  BD^>;   5)    AA^> = k •  CC^>.

В соответствии с определением умножения вектора на число имеем (рис. 19)

1) M C^>    CA^> , | CA| = 2•| MC |, откуда k = — ¹/₂;

2) BM^>  BD^>,    | BD | = 2 • | ВМ |,   откуда k = 2;

3) CM^>  AC^>, | CM | = ¹/₂• |AС |, откуда k = -2;

4)   BB^> = 0,   BD^> =/= 0,   откуда k = 0;

5)  AA^> = 0,   CC^> = 0,   откуда k — любое число.