Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 6. Коллинеарные векторы.

Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

Так, например, на рис. 20 векторы  BC^> и  AD^> коллинеарны, а векторы  AB^> и  AC^> неколлинеарны.

Если векторы а и b коллинеарны, то говорят также, что вектор а коллинеарен вектору b, а вектор b коллинеарен вектору а.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Теорема   (признак коллинеарности). Для того чтобы вектор а был коллинеарен ненулевому вектору b, необходимо и достаточно, чтобы существовало число k, удовлетворяющее условию

a = kb.                (1)

Достаточность. Если при некотором k равенство (1) выполняется, то векторы b и а коллинеарны по определению умножения вектора на число и определению коллинеарных векторов.

Необходимость. Пусть вектор а коллинеарен ненулевому вектору b. Возможны следующие три случая:     а  b,     а  b,   а = 0.

Если а  b, то a =  • b, т. е. равенство (1) выполняется при  k =  

Если а  b , то a = —  • b, т. е. равенство (1) выполняется при k =  —

Если а = 0, то а = 0 • b , т. е. равенство (1) выполняется    при k= 0.

Задача. Доказать, что векторы  AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> и ¹/₃ AС^> коллинеарны.

Используя свойства операций над векторами, получим

AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> = (AВ^> + ВА^>) + (СВ^> + ВА^>) =  0 + ВА^> = ВА^> = — АС^>.

Таким образом,

AВ^> +  СВ^> + 2 ВА^> = —3 (¹/₃ AС^>) .

По признаку коллинеарности векторов данные в условии векторы коллинеарны.