Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§10. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам .

Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с:

m = xa + yb + zc.                            (1)

Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b, с  не коллинеарны; в противном случае векторы а, b, с были бы компланарны. Поэтому, если вектор m компланарен с какими-нибудь двумя векторами (например, с а и b), то m = ха + уb (§ 8) и, следовательно,

m = ха + уb + 0 • с,

т. е. в этом случае теорема доказана.

Пусть вектор m не компланарен ни с какими двумя векторами из векторов а, b, с (рис. 30).

Приведем все векторы к общему началу О и проведем через точку М (конец направленного отрезка, изображающего вектор  OM^> = т) прямую, параллельную вектору с. Эта прямая пересечет плоскость ОАВ в некоторой точке N. Ясно, что

OM^> = ON^> + N M^>.

По свойству коллинеарных векторов N M^> = zc.    

По теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам существуют числа х, у такие, что ON^> = ха + уb.

Таким образом,

OM^> = ON^> + N M^> =  xa + yb + zc.

Единственность разложения вектора т по векторам а, b и с: доказывается аналогично тому, как это было сделано в теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам (§ 8).

Базисом пространства называются любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Пусть e₁,  e₂ и e₃ — некоторый базис, и a — произвольный вектор. Тогда, по только что доказанной теореме, существуют три числа х, у, z таких, что

а = хe₁ + уe₂ + ze₃.

Числа х, у и z называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у; z).

Задача 1. Дан   куб   ABCDA₁B₁C₁D₁.   Разложить вектор AK^>,  где   K — центр грани ВСС₁В₁ по векторам а = AB^>, b = AC^>, с = AA₁^> (рис. 31).

Из   /\ AKL имеем AK^> = AL^> + LK^>, но

Задача 2. Пусть векторы DA^>,  DB^>, DC^>, изображенные соответствующими направленными ребрами треугольной пирамиды ABCD, образуют базис. Найти координаты вектора AB^> в этом базисе.

Воспользуемся рис. 29a.

Pис. 29a

Обозначив DA^>= e₁,  DB^> = e₂,   DC^> = e₃, получим AB^> = DB^> — DA^> = — e₁ + e₂ или AB^> = — 1•e₁ + 1•e₂ + 0•e₃,

откуда        AB^>  = (— 1; 1; 0).