Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 15. Длина  вектора.

Из курса геометрии восьмилетней школы известно, что расстояние между точками А и В, расположенными на координатной прямой (оси), вычисляется по формуле

|АВ| = |х_B — х_A|,

где х_A и х_B — координаты точек А и В.

Пусть на плоскости, в которой выбрана прямоугольная система координат О, i, j, заданы две точки A(x₁; y₁) и В(x₂; y₂) (рис. 45). Требуется найти длину отрезка  [АВ].

По теореме Пифагора из треугольника АВС₁ находим |АВ|² = |АС₁|² + |С₁В|², но так как

|АС₁| = |А₁В₁| =  |х₂ — х₁|

и

|С₁В| = |А₂В₂| =  |y₂ — y₁|,

то

|АВ|² =  |х₂ — х₁| ² +  |y₂ — y₁|²,

и, следовательно,

|АВ|  = √(х₂ — х₁)²+  (y₂ — y₁)²  .                (1)

Если отрезок АВ параллелен оси абсцисс, то y₁ = y₂ (рис. 46) и длина отрезка АВ равна длине отрезка А₁В₁ :

|АВ|  =  |А₁В₁|  =  |х₂ — х₁|

Если    же    отрезок    АВ   параллелен    оси ординат Оу (рис. 47), то

|АВ|  = |y₂ — y₁|

Последние две формулы являются частными случаями формулы (1).

Итак, длина отрезка на плоскости равна корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат его концов.

Если одна из точек, например В, совпадает с началом координат (рис. 48), то формула (1) упрощается и принимает вид

Пусть точки А и В находятся в пространстве: А(х₁, y₁, z₁)   и   В(х₂, y₂, z₂).

Построим  прямоугольный  параллелепипед ACB₁DA₁C₁BD₁, в котором точки А и В будут концами его диагонали   (рис.  49).

 Тогда  из  /\ADB₁  и  /\АB₁В по теореме Пифагора следует, что

|АВ|  =  √ |AD|² + |DB₁|² + |B₁B|²  .

Выразив |AD|, |DB₁| и |B₁B| в координатах, получим

|АВ|  = √(х₂ — х₁)²+  (y₂ — y₁)²+  (z₂ — z₁)² .          (2)

Ясно, что при z₁= z₂ = 0 формула (2) обращается в формулу (1); в этом случае отрезок А В принадлежит плоскости хОу.

Напомним, что длина вектора а = AB^> равна длине отрезка АВ.

Поэтому, используя формулы (1) и (2), длину вектора а = AB^> на плоскости и в пространстве можно выразить через координаты концов следующим образом:

|AB^>|  = |АВ|  = √(х₂ — х₁)²+  (y₂ — y₁)²                         (3)

|AB^>|  = |АВ| = √(х₂ — х₁)²+  (y₂ — y₁)²+  (z₂ — z₁)²         (4)

Пусть вектор а = (х; у; z) задан в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда координаты вектора а = AB^> выражаются через координаты точек А(х₁, y₁, z₁)   и   В(х₂, y₂, z₂)  следующим образом (§ 12):

x = x₂ — x₁;           y = y₂ — y₁;      z =  z₂ — z₁,

Из формулы (4) получим выражение длины вектора а = (х; у; z) через его координаты:

| а | = √ х²+  y²+  z²                  (5)

Для плоскости формула (5), очевидно, примет вид

| а | = √ х²+  y²

Задача 1. Найти длину вектора AB^>, если А (4; 1), В (7; 5).

По формуле (3) находим

|AB^>|  = |АВ| = √(7 — 4)²+  (5— 1)²  = 5.

Задача 2. Найти длину вектора AB^>, если A (3; 5; 1), B (5; 6; 3).

Применив формулу (4), найдем

|AB^>|  = |АВ| = √(5 — 3)²+  (6— 5)² +  (3— 1)²   =3.  

Задача 3. Найти длину вектора а = (2; 3;  —6).

По формуле (5) получаем

| а | = √2²+  3² +  (— 6)²   =7.