√лава I. ¬екторы на плоскости и в пространстве

§ 18. —войства скал¤рного произведени¤ векторов

1. —кал¤рное умножение векторов обладает переместительным свойством:

а Х b = b Х а.                                 (1)

“ак как

=    и   | а | Х | b | =  | b |  Х | а |,   

то

а Х b  = | а | Х | b | cos  = | b |  Х | а | cos  = b Х а.

≈сли а = 0 или b  = 0, то по определению скал¤рного произведени¤ а Х b  = 0 и b Х а = 0, т. е. а Х b = b Х а

2.  —кал¤рное умножение векторов обладает сочетательным свойством по отношению к умножению вектора на число:

(ka) Х b = k (а Х b).                           (2)

ќбозначим  = φ и  = φ₁.

≈сли k > 0, то  = , т. е. φ = φ₁ и тогда

(ka) Х b = | kа | Х | b |  cos φ₁ = k | а | Х | b |  cos φ = k (а Х b).

≈сли k < 0, то ka a и φ₁ = 180° Ч φ, и тогда

(ka) Х b  = | kа | Х | b |  cos φ₁ = | k | Х | а | Х | b | cos (180° Ч φ) =
= Ч k Х | а | Х | b |(Ч cos φ) =

=  k | а | Х | b |  cos φ = k (а Х b)

≈сли k = 0 или a = 0, или b = 0, то

(ka) Х b = 0 и k (а Х b) = 0, и поэтому (ka) Х b =k (а Х b).

3.  —кал¤рное умножение векторов обладает распределительным свойством относительно сложени¤ векторов

а Х  (b + с) = а Х b + а Х c.                    (3)

≈сли a = 0, то свойство (3) очевидно.

ѕусть a =/= 0. “огда

а Х  (b + с) = | a | Х np_a(b + c) = | a | Х  (np_ab + np_ac) =
= | a | Х  np_ab + | a | Х  np_ac = а Х b + а Х c.

¬ ходе доказательства были использованы известные свойства проекции вектора на ось (§ 16).

«аметим, что из (1) и (3) следует формула

(a + b) Х c = a Х c + b Х c.                                 (4)

—ходство свойств скал¤рного произведени¤ векторов со свойствами произведени¤ действительных чисел позвол¤ет легко производить вычислени¤ и преобразовани¤ со скал¤рными произведени¤ми.

«адача. ƒоказать тождество

(a + b) ² = а² + 2a Х b + b².

»спользу¤ свойства (1)Ч(4) скал¤рного произведени¤, получаем

(a + b) ² = (a + b) Х (a + b) = (a + b) Х а + (a + b) Х b =
= aХa + bХa + aХb + bХb = а² + aХb + aХb + b² =

= а² + 2a Х b + b²

“еорема.  ƒл¤ того чтобы два ненулевых вектора были перпендикул¤рны, необходимо и достаточно, чтобы их скал¤рное произведение было равно нулю:

(а =/= 0, b =/= 0, a Х b = 0 ) <==> a _|_ b.                 (5)

Ќеобходимость. ѕусть a _|_ b. “огда

φ =    = 90°   и   a Х b = | а | Х | b | Х cos 90° = 0.

ƒостаточность. ѕусть a Х b = 0 , а =/= 0, b =/= 0.

“ак как а =/= 0, b =/= 0, то  | а | =/= 0, | b | =/= 0, а так как  | а | Х | b | Х cos φ = 0, то cos φ = 0 и, следовательно, φ  = 90°, т. е.   a _|_ b.