Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 20. Вычисление угла между двумя векторами.

По определению скалярного произведения

а • b = | а | •  | b | cos ..

Следовательно, если а =/= 0 и b =/= 0, то

т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

Пусть в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат, и пусть заданы векторы    а = (x₁ ; y₁ ; z₁)     и    b = (x₂ ; y₂; z₂).    Тогда, как известно (см. §19),

и поэтому, используя равенство (1), получим формулу

Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.

Если векторы а = (x₁ ; y₁ )     и    b = (x₂ ; y₂) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле

Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.

Подставив координаты векторов в формулу (3), получим

откуда (по таблице)  ≈ 16°.

Задача  2. Найти косинус угла между векторами

а = 2i + 2j — k,      b = i — 2j  + 2k .

Используя формулу (2), получим