Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 21. Векторное произведение двух векторов и его свойства

В физике момент силы F относительно точки О изображают вектором OM^>, перпендикулярным плоскости, в которой лежат точка О и вектор F (рис. 53).

Длину вектора OM^> определяют как произведение длины вектора F на плечо h (h — расстояние от точки О до прямой, на которой изображен вектор силы F), т. е.

|OM^>| = | F | • h

или

где r =  OA^> — радиус-вектор точки приложения силы F.

Вектор OM^> называют векторным произведением вектора r на вектор F. Прежде чем дать определение векторного произведения двух произвольных векторов а и b, введем понятие правой и левой троек векторов.

Три некомпланарных вектора а, b и с, взятых в указанном порядке, образуют правую тройку, если после приведения их к общему началу вектор с расположен по ту сторону от плоскости, содержащей векторы а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка   векторов   называется  левой.   Векторы  a,  b,  с, изображенные на рис. 54, образуют правую тройку, а векторы d, e, f — левую.

Векторы r, F, OM^> на рис. 53 образуют правую тройку.

Векторным произведением вектора а на неколлинеарный ему вектор b называется такой третий вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям:

1)   длина  вектора   | с | = | a | • | b | • sin (a;^{^}b);

2)   вектор с перпендикулярен векторам-множителям а и b: с _|_ a и с _|_ b;

3)   три вектора а, b, с в указанном порядке образуют правую тройку.

Векторным произведением коллинеарных векторов считается нулевой вектор.

Векторное произведение вектора а на вгктор b обозначается символом [а; b].

Условия 1) и 2) определяют вектор с = [а; b] с точностью до двух взаимно противоположных направлений.

Условие 3) определяет одно из этих двух направлений.

Условие 1) можно сформулировать чисто геометрически: длина вектора с содержит столько единиц длины, сколько одноименных квадратных единиц содержит площадь параллелограмма, построенного на векторах-множителях (рис.55).

Из условия 1) видно, что [а; b] =/= 0, если а и b неколлинеарны. С другой стороны, векторное произведение коллинеарных векторов по определению равно нулевому вектору. Таким образом, равенство

[а; b] = 0

является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов а и b.

Рассмотрим некоторые свойства векторного произведения.

1.  При перемене порядка    сомножителей   векторное произведение сохраняет длину, но меняет свое направление на противоположное:

[а; b] = — [b; a].

В самом деле, согласно определению векторного произведения,

| [а; b] | = | a | • | b | • sin (a;^{^}b),      | [b; a] | =  | b | • | a | • sin (b;^{^}a),

а так  как   (a;^{^}b)  = (b;^{^}a), то | [а; b] |  =  | [b; a] | .

Векторы [а; b] и [b; a] перпендикулярны плоскости, определяемой векторами-множителями а и b. Но так как векторы а, b и [а; b] (а также векторы b, а и [b; a]) образуют правые тройки, то векторы [а; b] и [b; a] должны быть противоположно направленными (рис. 56).

2.  Свойство   сочетательности   векторного   произведения относительно скалярного множителя:

[mа; b] = [а; mb] = т [а; b].

3.  Свойство  распределительности векторного  произведения выражается равенством

[а + b;с] = [а;с] + [b;с].

Свойства 2 и- 3 векторного произведения примем без доказательства.

Задача 1. Найти длину вектора [3а — b; а — 2b], если   а _|_ b, | а | =3, | b | =2.

В силу свойств 2 и 3 векторного произведения

[3а — b; а — 2b] = 3 [а; а] — [b; a] — 6 [а; b] + 2 [b; b].

Но [а; а]  = 0 и [b; b] = 0, так как каждый вектор коллинеарен сам себе, а векторным произведением коллинеарных векторов является нулевой вектор. Далее, согласно свойству 1,

[b; a] = — [а; b],

и поэтому

[3а — b; а — 2b] = — 5 [а; b].

Следовательно,

| [3а — b; а — 2b]  | = | — 5 [а; b] | = 5 | а | • | b | • sin 90° = 5•3•2 = 30.

Задача   2. Найти и изобразить    векторы [а; b]  и [b; a] ,  если а = 3i,  b = 2i + 2k   (i, j,  k — единичные взаимно перпендикулярные векторы, образующие правую тройку).

Так как [ i ; i] = 0 и [ i ; k] = — j, то

[а; b] = [3i; 2i + 2k] = 6 [i ; i] + 6 [i ; k] = — 6j.

Вектор [а; b] = — 6j на рис. 57 изображается направленным отрезком  OL^>,

вектор [b; a] = —  [а; b]  = 6j. — направленным отрезком OP^>.