Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 33. Вычисление утла  между прямыми,
          заданными уравнениями  с угловыми  коэффициентами

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

у = k₁x + b₁   и  у = k₂x + b₂.

За нормальные векторы этих прямых можно взять n₁ = (k₁; —1) и n₂ = (k₂; —1). Формула (2) § 32 в этом случае имеет вид

               . (1)

С помощью этой формулы можно найти угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂:

Если k₁ = k₂:, то cos φ =. 1 и φ = 0, т. е. прямые параллельны.

Если  k₁k₂+1= 0, то cos φ = 0 и φ = ^π/₂. т. е. прямые перпендикулярны.

Следовательно, необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами, формулируются следующим образом:

для того чтобы прямые у = k₁x + b₁   и  у = k₂x + b₂ были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы k₁ = k₂

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы k₁k₂ = —1.

Выведем еще одну (более простую) формулу для угла между прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами.

Так как 0 < φ < 90°, то sin φ > 0 и

sin φ = √1 — cos²φ.

Подставив выражение для cos φ из формулы (1), получим

Отсюда и из формулы (1) следует, что для тангенса угла между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ справедлива формула

         (2)

Если знаменатель в формуле (2) обращается в нуль, т. е. если k₁k₂+1= 0, то, как уже отмечалось выше, прямые перпендикулярны и φ = 90°.

Задача 1. Найти угол между прямыми у = —  ^x/₇ + 2 и   y = ³/₄ x + 5.

По формуле (2), полагая  k₁ = — ¹/₇,  k₂ = ³/₄, находим

Угол между прямыми равен 45°. ^

Задача 2. Вычислить угол между прямыми   у =  —  ^x/₄ + 1   и   у = 8х + 7.

Полагая в формуле (2)   k₁ = — ¹/₄,  k₂ = 8, получаем

По таблице тангенсов находим φ ≈ 83°.  

Задача 3. Доказать, что прямые у = —  ^x/₃ — 3  и  у = 3x — 1 перпендикулярны.

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности прямых:

k₁k₂ = (— ¹/₃ ) • 3 = — 1.

Следовательно, прямые перпендикулярны.