Глава II. Прямые   на   плоскости.

§34*. Вычисление  угла  между прямыми,  заданными каноническими уравнениями

Рассмотрим задачу о вычислении угла между прямыми l₁ и l₂, заданными в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнениями

Обозначим через φ величину угла между прямыми l₁ и l₂, а через ψ  —величину угла между   направляющими векторами а = (a₁; a₂) и b = (b₁; b₂) этих прямых. Легко видеть, что если ψ < 90° (рис. 100, а), то φ = ψ, a если ψ > 90° (рис. 100,6), то φ =180° — ψ.

Поэтому всегда имеет место равенство

cos φ  = | cos ψ  |.

По формуле (1) § 20 получаем

и, следовательно,

или

     (1)

Задача  1. Вычислить угол между прямыми

и построить эти прямые.

По формуле (1) находим

Следовательно, угол между прямыми равен 45°.

Построить прямую проще всего по двум точкам. Из уравнений видно, что первая прямая проходит через точку (1; —3), а вторая — через точку (0; —1). Первая прямая пересекает ось Ох в точке  ( ⁸/₅; 0),    вторая — в     точке  (— ²/₃ ; 0). Данные прямые изображены на рис. 101.

Прямые с направляющими векторами a и b:

а) параллельны, когда векторы a и b коллинеарны;

б) перпендикулярны, когда векторы a и b перпендикулярны, т. е. когда a • b = 0.

Отсюда получаем необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями.

Для того чтобы прямые

были:

а) параллельны, необходимо и достаточно, чтобы

б) перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы

a₁ • b₁ + a₂ • b₂ = 0.

Задача 2. Среди следующих пар прямых указать пары параллельных или перпендикулярных прямых:

Для первой пары прямых      так как     ³/₁ = ⁶/₂

Следовательно, прямые параллельны.

Для второй пары прямых условие  не выполняется, и поэтому прямые не параллельны.

Проверим выполнение условия перпендикулярности прямых:
a₁ • b₁ + a₂ • b₂ = 3•(—2) + 6•1 = 0. Следовательно, прямые перпендикулярны.