Глава II. Прямые   на   плоскости.

§ 35*. Нормированное уравнение прямой.

Пусть l — произвольная прямая (рис. 102).

Обозначим через р расстояние от начала координат до прямой l, а через φ — угол между осью Ох и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитыватп от оси Ох в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Очевидно, что положение прямой на плоскости полностью определяется заданием величин р и φ. Выразим коэффициенты уравнения прямой l через р и φ.

Пусть М₀ — точка пересечения прямой l и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, п₀ — единичный нормальный вектор прямой l, т. е. |п₀| = 1. Координаты точки М₀ и вектора п₀ выражаются через заданные величины р и φ следующим образом:

М₀(р cos φ; р sinφ),    п₀ = (cos φ;   sinφ).

В § 29 было выведено уравнение прямой, проходящей через точку (х₀; у₀) с нормальным вектором {А; В):

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0.

Подставив в это уравнение координаты точки М₀ и вектора п₀, получим

cos φ {х — р cos φ) + sin φ (у — р sin φ) = 0,

или

х cos φ + у sin φ — р (cos² φ + sin² φ) = 0.

В результате приходим к уравнению

х cos φ + у sin φ — р = 0.

Оно называется нормированным уравнением прямой.

В нормированном уравнении все коэффициенты имеют геометрический смысл: коэффициенты при переменных х и у — координаты единичного нормального вектора прямой; свободный член (—р) равен расстоянию от начала координат до прямой, взятому со знаком «минус». Подчеркнем еще раз, что в нормированном уравнении прямой свободный член меньше или равен нулю.

Рассмотрим, например, уравнение х — у + 5√2 = 0. Оно не является нормированным : вектор (1; —1) не единичный, так как | n | =√2 =/=1; свободный член уравнения положителен. Умножим обе части уравнения на  (—   ¹/_√2 ).  Тогда уравнение прямой примет вид

—   ^x/_√2  +  ^y/_√2  — 5 = 0

и   станет   нормированным,   так   как   теперь    вектор  (—   ¹/_√2 ; ¹/_√2) очевидно, единичный, а свободный член уравнения отрицателен. Нормальный вектор рассматриваемой прямой образует с осью Ох угол φ такой, что cos φ = — ¹/_√2 , sin φ = ¹/_√2 ,  
 т. е. φ = 135°.   Прямая проходит на расстоянии 5 единиц длины от начала координат.

Общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0

всегда можно привести к нормированному виду (нормировать). Если С < 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель , получим уравнение

которое   является   нормированным,   так  как  вектор  как легко проверить- единичный, а свободный член уравнения меньше или равен нулю.

Случай С > 0 сводится к предыдущему умножением обеих частей уравнения на —1. Поэтому, если С > 0, то за   нормирующий   множитель   следует   взять   число

Задача. Вычислить расстояние от начала координат до прямой 6х — 8y + 25 = 0.

Тaк как С = 25 > 0, то, умножив обе части уравнения    на    нормирующий    множитель

, получим нормированное уравнение данной прямой

— 0,6х + 0,8y — 2,5 = 0.

Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения прямой, видим, что искомое расстояние равно 2,5.