Глава III. Кривые второго порядка

§ 40. Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними — фокальным расстоянием.

Обозначим фокусы гиперболы буквами F1 и F2.
Пусть фокальное расстояние | F1F2 | = 2с.

Если М — произвольная точка гиперболы (рис. 112), то по определению гиперболы модуль разности | F1M | —  | F2M |  постоянен. Обозначив его через 2а, получим

| | F1M | —  | F2M | | = 2a. (1)

Отметим, что по определению гиперболы 2а < 2с, т. е. а < с.

Равенство (1) есть уравнение гиперболы.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы гиперболы; ось ординат проведем через середину отрезка F1F2  перпендикулярно ему (рис. 113).

Тогда фокусами гиперболы будут точки F1 (— c; 0) и  F2 (c; 0).

Пусть М(х; у)—любая точка гиперболы, тогда

| F1М | = √(x + c)2+ y2    и  | F2М | = √(x —  c)2+ y2   .

Подставляя значения | F1M |  и  | F2M | в уравнение (1), получаем

| √(x + c)2+ y2    — √(x —  c)2+ y2   | = 2а.  (2)

Полученное нами уравнение представляет собой уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Это уравнение можно привести к более простому виду.

Пусть х > 0, тогда уравнение (2) можно записать без знака модуля следующим образом:

(x + c)2+ y2    — √(x —  c)2+ y2  = 2а,

или

(x + c)2+ y2   =2а + √(x —  c)2+ y2            (3)

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

(х + с)2 + у2 = 4а2 + 4а(x —  c)2+ y2   + (х — с)2 + у2.

После соответствующих упрощений и преобразований:

(x —  c)2+ y2   = c/a х — a,    (4)

(х — с)2 + у2  = ( c/a х — a)2,

приходим к уравнению

     (5)

По определению гиперболы а < с, поэтому с2 — a2 — положительное число. Обозначим его через b2, т. е. положим b2 = с2 — a2. Тогда уравнение (5) примет вид

Разделив почленно на b2, получим уравнение

    (6)

Если х < 0, то уравнение   (2)   переписывается без знака модуля следующим образом:

(x —  c)2+ y2     —  √(x + c)2+ y2   = 2а,

и точно так же, как и в случае х > 0, преобразуется к виду (6).

Уравнение (6) называется каноническим уравнением гиперболы.

Замечание. Возведение в квадрат обеих частей уравнения (3) и (4) не нарушило равносильности уравнений. Обе части уравнения (3), очевидно, неотрицательны при всех значениях х и у. Левая часть уравнения (4) также всегда неотрицательна. При х > а правая часть уравнения (4) положительна, так как

c/a х — a > c/a a — a = с — a > 0

Итак, посторонние точки могли бы появиться только при условии 0 < х < а, но из уравнения (6) следует, что x2/a2  > 1, т. е. | x | > а.

Задача 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку
М (—5; 9/4), если фокальное расстояние гиперболы равно 10.

Так как |F1F2|= 10, то с = 5. Запишем каноническое уравнение гиперболы

По условию точка М (—5; 9/4) принадлежит гиперболе, следовательно,

Второе уравнение для определения а2 и b2 дает соотношение

b2 = с2 — a2 = 25 — a2.

Решив систему

найдем a2 =16, b2 = 9. Искомым уравнением будет уравнение

Задача 2. Доказать, что уравнение

20x2 29y2 = 580

является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Разделив обе части уравнения на 580, получим

Это уравнение гиперболы, для которой  a2  = 29, b2 = 20.
Из соотношения c2 = a2  + b2  находим c2 = 29 + 20 = 49, с = 7. Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках F1(—7; 0) и F2(7; 0).

 

Используются технологии uCoz