Глава III. Кривые второго порядка

§ 43. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
         в других (неканонических) системах координат

Применим выведенные в § 13 формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой для изучения неканонических уравнений гиперболы, параболы, эллипса.

1) Рассмотрим уравнение

ху = а,     а > 0.    (1)

Из школьного курса известно, что уравнение (1) называется уравнением гиперболы и имеет график, изображенный на рис. 121.

Посмотрим, каким будет уравнение этой гиперболы в другой системе координат, в системе, которая получается из исходной поворотом базисных векторов на угол α = 45°.

В данном случае старые координаты х и у выражаются через новые х' и у' следующим образом:

т. е.

Заменяя в уравнении (1) старые переменные новыми, получаем

^√2/₂(х' — у' ) • ^√2/₂(х' + у' ) = a

или

х'² — у'² = 2а.      (2)

Мы получили каноническое уравнение равносторонней гиперболы. Следовательно, уравнение (1) задает равностороннюю гиперболу. Старые оси координат являются асимптотами гиперболы, поэтому уравнение (1) называют уравнением гиперболы, отнесенным к асимптотам (см. рис. 121). Сравнивая уравнения (1) и (2), видим, что действительная ось гиперболы, заданной уравнением (1), равна  √2а .

Новая система координат О, i', j' называется канонической, так как в ней уравнение гиперболы имеет канонический вид.

Уравнение ху = а, а < 0, приводится к каноническому виду аналогично. Для получения новых базисных векторов в этом случае следует повернуть старые базисные векторы на угол α = — 45°.

Задача 1. Дано каноническое уравнение равносторонней гиперболы х²— у² = 18. Написать ее уравнение, отнесенное к асимптотам.

Выполним поворот на угол α == —45°. Тогда старше координаты выражаются через новые по формулам

Подставив в данное уравнение значения х и у, получим

¹/₂(х' — у' )² — ¹/₂(х' + у' )² = 18

или после упрощения х'у' = 9. 

2) Рассмотрим уравнение

y = αx²  + βx + γ,      α =/=0.    (3)

Вам хорошо знакомо это уравнение и его график: парабола с осью, параллельной оси ординат. Записав уравнение (3) в виде

       (4)

находим координаты вершины параболы

Перейдем к новой системе координат, направления осой которой совпадают с направлениями осей старой системы, а начало координат О' находится в вершине параболы. Точка О' имеет, следовательно, координаты (). Положив в формулах переноса

Так выражаются в данном случае старые координаты x и у через новые х' и у'. Заменяя в уравнении (4) старые координаты новыми, приходим к уравнению

y' = αx'²,      α =/= 0.

Итак, если парабола в некоторой системе координат имеет уравнение (3), то всегда можно перейти к новой системе координат, в которой уравнение параболы будет иметь более простой вид: y' = αx'²,   α =/= 0.  Более того, всегда можно выбрать систему координат так, чтобы коэффициент в уравнении параболы был положителен. В самом деле, пусть α < 0, т. е. парабола расположена так, как показано на рис. 122.

Тогда в системе О', i", j", которая получается из системы О', i', j'  поворотом осей на угол α = 180°, уравнение параболы будет иметь вид  y'' = — αx'' ². Полагая α₁ = — α, получаем  y'' =  α₁x'' ², где α₁ > 0.

3) Пусть в некоторой системе координат парабола задана уравнением

y = αx²,      α > 0. (5)

Перейдем к новой системе координат, которая получается из исходной поворотом базисных векторов на угол α = 90° (рис. 123).

Формулы поворота в этом случае принимают вид

Применяя в уравнении (5) старые координаты новыми, получаем

х' = αу' ²  или   у' ² = ¹/_α х'.

Обозначим   ¹/_α   через 2р, тогда

у' ² = 2рх'.

Мы получили каноническое уравнение параболы. Таким образом, уравнением (5) задается парабола с фокальным параметром, равным  ¹/_2α   .

Из результатов, полученных в пункте 2), следует, что фокальный параметр параболы, заданной   уравнением  y = αx²  + βx + γ,   α =/=0  ,  равен  ¹/_{2 |α |}    .

Задача 2. Дано уравнение параболы    y = 2x² + 6x + 7.

Привести его к каноническому виду. Найти расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

 Выделим полный квадрат в правой части данного уравнения

у = 2(x² + 3х) + 7 = 2( x + ³/₂)² + ⁵/₂.

Координаты вершины параболы (—  ³/₂ ;  ⁵/₂ ).

Перейдем к новой системе координат, которая получается из исходной переносом начала координат в точку O' (—  ³/₂ ;  ⁵/₂ ) и поворотом базисных векторов на угол α  = 90°
(рис. 124).

По формулам (3) § 13 получаем

Подставив эти значения х и у в уравнение параболы, получим

⁵/₂  + x' =2( —  ³/₂ — y' + ³/₂)²  + ⁵/₂

т. e.    x' = 2y' ², или y' ² = ¹/₂ x'.

Из полученного уравнения видно, что расстояние от фокуса параболы до директрисы (фокальный параметр) равно ¹/_{4 .}

4) Рассмотрим уравнение

   (6)

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса, но не является таковым, так как в каноническом уравнении эллипса а > b.

Перейдем от системы координат хОу к системе х'Оу', которая получается из исходной системы поворотом базисных векторов на угол α = 90°. Формулы поворота в этом случае имеют вид

Поэтому в новой системе данное уравнение запишется так:

Мы получили каноническое уравнение эллипса. Следовательно, уравнением (6) задается эллипс, большая ось которого лежит на оси Оу, малая на оси Ох. Фокусы такого эллипса расположены в точках F₁(0; с) и F₂(0; —с), где с = √b² — a²    (рис. 125).

Задача 3. Доказать, что кривая, заданная уравнением

25х² + 16y² —50х + 64y — 311 = 0,

является эллипсом. Найти его полуоси и координаты фокусов. Дать чертеж.

Преобразуем данное уравнение к виду:  

25 (х — 1)² + 16 (у + 2)² = 400.

Oт системы координат хОу перейдем к системе х'О'у', сохранив направление осей, а начало координат поместив и точку О'(1; —2). Тогда старые и новые координаты  будут связаны формулами переноса

Поэтому в новой системе координат кривая имеет уравнение

25х' ² + 16у' ² = 400

или

Итак, данная кривая является эллипсом, полуоси которого равны 5 и 4. Полуфокусное расстояние с = √25—16 =3. Фокусы эллипса в новой системе имеют координаты (0; 3) и (0; —3). По формулам переноса находим их координаты в старой системе:
(1; 1) и (1; —5). Чертеж дан на рис. 126.

Задача 4. Написать уравнение эллипса, одна ось которого принадлежит оси ординат и равна 12, а другая ось принадлежит оси абсцисс и равна 8.

По условию задачи b = 6, а = 4, следовательно,

Задача 5. Написать уравнение эллипса, одна ось которого принадлежит оси ординат и равна 20, а расстояние между фокусами равно 16. Центр эллипса находится в точке
(0; 0).

Искомое уравнение эллипса можно записать в виде

Так как 2с = 16, 2b = 20, то с = 8, b = 10, а так как фокусы расположены на оси Оу, то
а² =  b²  —  c²  =  100 — 64 = 36 .Следовательно,  эллипс имеет уравнение

Задача 6. Найти длины полуосей эллипса 25х² + 16у² = 400 и вычислить координаты его фокусов.

Запишем данное уравнение в виде

Следовательно, а²  = 16, b² = 25 и с = √b² — a²  = √25—16  =3.
В результате имеем а = 4, b = 5, F₁(0; 3), ,F₂(0; —3).