Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 46.  Взаимное расположение прямых  в  пространстве

В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).

Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р, прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые 11 и 12 параллельные, то пишут 11 || 12.

Таким образом,  11 || 12, если, во-первых, существует плоскость р такая, что
1
1  р и 12  р и, во-вторых, или 11 12 =  или 11 = 12.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Пусть 11 || 12 и 12 || 13. Нужно доказать, что 11 || 13

Если прямые 11 , 12 , 13 лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые 11 , 12 , 13 не лежат в одной плоскости.

Через прямые 11 и 12  проведем плоскость р1, а через 12 и 13 — плоскость р2 (рис. 131).

Заметим, что прямая 13 содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости
р1.

Через прямую и точку М проведем плоскость р3, которая пересечется с плоскостью р2 по некоторой прямой l. Докажем, что  l совпадает с 13. Доказывать будем «методом от противного».

Предположим, что прямая 1 не совпадает с прямой 13. Тогда 1пересекает прямую 12 в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р3 проходит через точку А  р1 и прямую 11 р1 и, следовательно, совпадает с плоскостью р1. Этот вывод противоречит тому, что точка М  р3 не принадлежит плоскости р1.   
Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому 1 = 13.

Таким образом, доказано, что прямые 11 и 13 лежат в одной плоскости  р3. Докажем, что прямые 11 и 13 не пересекаются.

Действительно, если бы 11 и 13 пересекались, например, в точке В, то плоскость  р2 проходила бы через прямую 12 и через точку В  11 и, следовательно, совпадала бы с р1, что невозможно.

Задача. Доказать, что углы с   сонаправленными   сторонами имеют равные величины.

Пусть углы MAN и M1A1N1 имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А1М1, а луч AN сонаправлен лучу A1N1 (рис. 132).

На лучах AM и А1М1 отложим равные по длине отрезки АВ и А1В1. Тогда

[BB1] || [AA1]   и  |BB1| =  |AA1|

как противоположные стороны параллелограмма.

Аналогично, на лучах AN и A1N1 отложим равные по длине отрезки АС и А1С1 . Тогда

[CC1] || [AA1]   и   |CC1| =  |AA1|

Из транзитивности параллельности следует, что [BB1] || [CC1]. А так как |BB1| = |CC1| , то BB1C1C — параллелограмм, и   поэтому |ВС| = |B1C1|.
Следовательно, /\ ABC    /\ А1В1С1 и   .

 

Используются технологии uCoz