Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 51.  Теорема о трех перпендикулярах

Пусть из точки М, не лежащей в плоскости р, проведены прямая MN, перпендикулярная плоскости р, и некоторая прямая MK, пересекающая плоскость р, но не перпендикулярная ей (рис. 146).

Длина отрезка МN называется длиной перпендикуляра к плоскости р, проходящего через точку М.
 Прямая МК называется наклонной к плоскости р, а прямая NK, где N  р и К  р, называется проекцией этой наклонной на плоскость р.
Длина отрезка МК называется длиной наклонной к плоскости р, а длина отрезка NK — длиной проекции этой наклонной.
Точку пересечения перпендикуляра MN с плоскостью р называют основанием перпендикуляра, а точку пересечения плоскости р и наклонной — основанием наклонной.

Имеют место следующие свойства:

1) длина перпендикуляра MN (рис. 147) к плоскости р меньше длины любой наклонной МК к плоскости р;

2) длины наклонных МК и МК₁ к плоскости р равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций на эту плоскость;

3) длина наклонной МК меньше длины наклонной МК₂ к плоскости р тогда и только тогда, когда длина проекции наклонной МК на плоскость р меньше длины проекции наклонной МК₂.

Свойство 1) следует из того, что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы больше длины любого катета.

Свойство 2) следует из признаков равенства прямоугольных треугольников. Действительно, если |МК| = |MK₁|, то /\ MNK    /\ AMNK₁ и поэтому |NK| = |NK₁|. Аналогично, если |NK| = |NK₁|, то  /\ MNK   /\ MNK₁ и |МК| = |MK₁|.

Свойство 3) следует из теоремы Пифагора. Действительно,

|MK|² = |MN|² + |NK|²,
|MK₂|² = |MN|² + | NK₂|²,

и поэтому |МК| < |МК₂| тогда и только тогда, когда |NK| < |NK₂|.

Свойство 1) наклонной и перпендикуляра к плоскости делает естественным следующее определение расстояния от точки до плоскости.

Для любой точки М, не лежащей в плоскости р, длина отрезка MN перпендикуляра к плоскости р, N  р, проходящего через точку М, называется расстоянием от точки М до плоскости р. Расстояние от точки М р до плоскости р считается равным нулю.

Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника ABC (С =90°) равны 4 см и 3 см. Точка М находится на расстоянии √6 см от плоскости треугольника ABC и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.

Расстояние от точки М до плоскости треугольника ABC есть длина перпендикуляра, проведенного через точку М к этой плоскости, а расстояния от точки М до вершин — длины соответствующих наклонных (рис. 148).

Так как |МА| = |MB| = |МС|, то длины проекций этих наклонных также равны. Поэтому основанием перпендикуляра MN является середина гипотенузы треугольника ABC.
Из /\ АВС имеем | АВ| = √16 + 9   =5 (см). Из /\ MNA имеем |МА| = √6,25 + 6   = 3,5 (см).

Теорема. Для того чтобы прямая l  р была перпендикулярна наклонной к плоскости р, необходимо и достаточно, чтобы прямая l была перпендикулярна проекции наклонной (на плоскость р).

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах. '

Пусть (MN) _|_ р, (МК) — наклонная, (NК) — проекция наклонной на плоскость р
(рис. 149).

Докажем сначала следующее утверждение (достаточность): если l_|_(NK), то l_|_(МК).

Так как l_|_(MN) и l_|_(NK), то, в силу признака перпендикулярности прямой и плоскости, прямая l перпендикулярна плоскости MNK, и поэтому l_|_(МК) (на рис. 146 l|| l₁).

Докажем теперь обратное утверждение (необходимость) : если l_|_(МК), то l_|_(NK).

Так как l_|_(MN) и l_|_(МК), то прямая l перпендикулярна плоскости MNK и, следовательно, l_|_(NK).

Задача 2. Доказать, что величина угла между наклонной МК к плоскости р и прямой
AK, лежащей в плоскости р и проходящей через основание наклонной, будет наименьшей, когда (АК) — проекция наклонной МК на плоскость р.

Пусть N — основание перпендикуляра MN к плоскости р. Из точки N в плоскости р проведем перпендикуляр NB к прямой АК (рис. 150).

Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что (MB)_|_ (АК). Из прямоугольных треугольников MNK, MNB и МВК получаем

и поэтому , что и требовалось доказать.

Угол между наклонной l к плоскости р и ее проекцией на эту плоскость называется углом между прямой l  и плоскостью р и обозначается . Если l — наклонная к р, то, согласно определению, 0 < < ^π/₂. Полагают: = 0, если l || р и = ^π/₂,
если l _|_ р.

Таким образом, угол между прямой l и плоскостью р определен во всех случаях. Причем всегда  0<  <  ^π/₂  если угол измеряется в радианах, и 0°<  <  ^π/₂  90°, если угол измеряется в градусах.

Из рис. 151 видно, что если 1= (МК) —наклонная к плоскости р, а т = (MN)—перпендикуляр к р, то     = ^π/₂   — .

Легко видеть, что эта формула справедлива и в других случаях, т. е. когда l || р или
l _|_ р.

Задача 3. Из вершины А прямоугольного треугольника ABC (С = 90°) проведен перпендикуляр AD к его плоскости. Найти расстояние от точки D до катета ВС, если |ВС| = т,
|DB| = п.

Так как (AD) _|_ р, то (DC) — наклонная (рис. 152), а (АС) —проекция этой наклонной на плоскость р. По теореме о трех перпендикулярах (DC) _|_ (ВС), так как (ВС) _|_ (АС) по условию. Из прямоугольного треугольника BCD находим: |CD| = √n² — m². Это и есть расстояние от точки D до катета ВС.