|
|
|
Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники § 55. Площадь проекции многоугольника. Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).
Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника. Пусть /\ АВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая: Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.
Проведем через (АВ) плоскость р1 || р и спроектируем ортогонально /\ АВС на р1 и на р (рис. 165); получим /\ АВС1 и /\ А'В'С' . S/\ ABC1 = S/\ A'B'C' Проведем [CD1] _|_ [AB] и отрезок D1C1. Тогда [D1C1] _|_ [AB], a S/\ ABC1 = 1/2 | AB | • | C1D1 | = 1/2 | АВ | • | CD1 | • cos φ = S/\ ABC cos φ и, следовательно, S/\ A'B'C' = S/\ ABC cos φ. Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р1 || р через ту вершину /\ АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Пусть (ВС) S/\ A'B'C' = S/\AB1C1 = S/\ADC1 — S/\ADB1 = ( S/\ADC — S/\ADB ) cos φ = S/\ ABC cos φ Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.
Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, /\ АВС есть проекция /\ АDС, поэтому
|
/\ А'В'С' , и поэтому
= φ есть величина угла между плоскостью /\ АВС и плоскостью р1. Поэтому
p1 = D. Тогда
