Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 56.  Трехгранные  и  многогранные углы

Пусть даны /\ АВС и точка S, не принадлежащая плоскости треугольника (рис. 168).
Объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный треугольник (рис. 169), называется трехгранным углом.

Точка S называется вершиной трехгранного  угла, лучи SA, SB, SC — его ребрами. Углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла или его плоскими углами. Величина каждого из них принадлежит интервалу ]0°; 180°[.

Вообще, если даны многоугольник ABC ... N и точка S, не принадлежащая плоскости многоугольника, то объединение всех лучей, имеющих общее начало в точке S и пересекающих данный многоугольник (рис. 170), называется многогранным углом.

Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи SA, SB, SN — его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами; величина каждого его плоского  угла принадлежит интервалу ]0°; 180°[. Многогранные углы называются трехгранными, четырехгранными и т. д. в зависимости от числа граней. Обозначают многогранный угол или одной буквой, обозначающей вершину, или несколькими буквами, отмечая вершину и точки на каждом ребре.

Многогранный угол называется выпуклым, если он находится по одну сторону от плоскости каждой его грани. В противном случае многогранный угол называется невыпуклым. На рис. 171 изображен невыпуклый пятигранный угол.

Выпуклый многогранный угол называется правильным, если все его грани конгруэнтны и все его двугранные углы конгруэнтны.

Рассмотрим свойства плоских углов трехгранных и многогранных углов.

Теорема 1. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Пусть дан трехгранный угол SABC. Величины его плоских углов обозначим α , β , γ 
(рис. 172).

Пусть γ — большая из них. Достаточно доказать, что γ < α + β.

В плоскости грани ASB проведем луч SM так, чтобы . Пусть N — точка пересечения отрезка АВ и луча SM. На луче SC отложим отрезок SD такой, что
|SD| = |SN|. Тогда /\ ASD /\ ASN по двум сторонам и углу между ними.

В /\ ABD

|AD| + |DB| > |AB|,

а по построению

|AB| = |AN| + |NB| и |AD| = |AN|,

следовательно, |DB| > |NB|.

Выразим теперь |DB| и |BN| из треугольников BSD и BSN при помощи теоремы косинусов:

|BD|2 = |BS|2 + |DS|2 — 2|BS| • |DS| • cos α,
|ВN|2 = | BS|2 + |NS|2 — 2|BS| • |NS| • cos .

Так как |DS| = |NS| , а | DB |> |NB|, то cos α < cos , и поэтому  < α. Тогда

< α + β, или γ < α + β.

Из доказанной теоремы непосредственно следует, что величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских  углов,  например

α  > γ — β,   β > γ — α

Теорема 2. Сумма величин всех трех плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Пусть дан трехгранный угол SABC (рис. 173).

Если через точки А, В, С проведем плоскость, то получим еще три трехгранных угла: ASBC, BSAC и CSAB. Применим к каждому из них теорему о сумме величин двух плоских углов трехгранного угла:

Сложив почленно эти неравенства, получим

а- так как сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°, то

    . (1)

Обозначим  , тогда из треугольников ASC, ASB, BSC имеем

Теперь неравенство (1) принимает вид

180° — α + 180° — β + 180° — γ > 180°,

откуда и следует, что

 α + β + γ <360°.

Разбивая выпуклый многогранный угол на трехгранные углы, можно доказать следующее утверждение.

Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°, а каждый плоский угол меньше суммы остальных плоских углов.

Используются технологии uCoz