Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 63. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку  
          перпендикулярно данному вектору.

Пусть дана некоторая точка M₀ и ненулевой вектор п. Через точку M₀ можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору п (рис. 201).

Выведем уравнение плоскости р. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда и только тогда, когда вектор M₀M^> перпендикулярен вектору п. Как известно (см. § 18), необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору п, может быть записано в виде

M₀M^> • п = 0.       (1)

Вектор п в уравнении (1) называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть точка M₀ и вектор п заданы своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат:

M₀(х₀; у₀; z₀),    п = (А; В; С).

Обозначим координаты произвольной точки М плоскости р через х, у и z. Тогда вектор M₀M^> имеет координаты х — х₀, у — у₀ и z — z₀, а уравнение (1) в координатах (см. § 19) записывается следующим образом:

А(х — х₀) + В (у — у₀) + С (z — z₀) = 0.      (2)

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку (х₀; у₀; z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С).

Задача 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(—3; 4; 7) перпендикулярно вектору п =  (1; —2; 6).

В данном случае х₀ = —3, у₀ = 4, z₀ = 7; А = 1, В = —2, С = 6. Подставив эти значения в уравнение (2), получим искомое уравнение

l(x + 3) — 2( y — 4) + 6(z — 7) = 0,

или

х — 2у  +  6z — 31 =0.

3 а д а ч a 2. Даны точки M₁ (2; —1; 3) и M₂(4; 5; 0). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₂ перпендикулярно вектору M₁M₂^>.

За нормальный вектор плоскости можно взять вектор п = M₁M₂^> = (2; 6; —3). После подстановки координат нормального вектора и координат точки М₀ = М₂(4; 5; 0) в уравнение (2) получим

2 (х — 4) + 6 (y — 5)  — 3z = 0

или

2х + 6у — 3z — 38 = 0.

Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках А₁{—5; 2; 7), А₂(5; 0; 6), А₃(0; —1; 2) проведена  медиана А₁М₀. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ перпендикулярно медиане А₁М₀.

За нормальный вектор плоскости можно принять вектор п = A ₁M₀^>. Определим его координаты. Точка М₀ — середина отрезка А₂А₃, поэтому, если (х₀; у₀; z₀) — ее координаты, то

Координаты нормального вектора п = (А; В; С), следовательно, равны

A = ⁵/₂ + 5 = ¹⁵/₂, В = — ¹/₂ — 2 = — ⁵/₂,  С = 4 — 7 = — 3.

Уравнение (2) имеет в данном случае вид

¹⁵/₂ (х — ⁵/₂) — ⁵/₂( y + ¹/₂) — 3 (z — 4) = 0

или

15х —5y — 6z —16 = 0.