Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§64. Общее уравнение плоскости

Рассмотрим в пространстве произвольную плоскость. Пусть M₀ (х₀; у₀, z₀) — некоторая точка этой плоскости, а п = (А; В; С) — какой-либо ее нормальный вектор. В предыдущем параграфе доказано, что уравнение этой плоскости имеет вид

А(х — х₀) + В (у — у₀) + С (z — z₀) = 0.

Запишем его так:

Ах + By + Cz — Aх₀ — By₀ — Cz₀ = 0.

Обозначив число — Aх₀ — By₀ — Cz₀ через D, получим уравнение

Ах + By + Cz + D = 0.     (1)

Таким образом, каждая плоскость в пространстве может быть задана уравнением (1), т. е. линейным уравнением с тремя переменными.

Справедливо и обратное утверждение: всякое линейное уравнение с тремя переменными, т. е. всякое уравнение вида (1), определяет плоскость.

В самом деле, в уравнении (1) по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен нулю, иначе уравнение (1) не является линейным. Пусть, например, С =/= 0, тогда уравнение можно переписать следующим образом:

А (х — 0) + В(у —0) + С (z + ^D/_C ) = 0.

Согласно предыдущему параграфу полученное уравнение, а следовательно, и уравнение (1) определяют плоскость, проходящую через точку M₀ (0; 0; —  ^D/_C) перпендикулярно вектору п(А; В; С).

Уравнение (1) называется общим уравнением плоскости.

Подчеркнем, что в этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора плоскости.

Например, если плоскость задана уравнением 3х + 4y — 5z + 17 = 0, то сразу можно сказать, что она перпендикулярна вектору (3; 4; —5).

Задача. Найти единичный нормальный вектор плоскости

7х + 4у — 4z + 1 = 0.

В качестве нормального вектора данной плоскости можно взять вектор п = (7; 4; —4). Найдем его длину: | п| = √49 + 16 + 16  = 9. Следовательно, единичным нормальным вектором является вектор   (⁷/₉; ⁴/₉;— ⁴/₉). Вектор, ему противоположный   (— ⁷/₉;—  ⁴/₉;— ⁴/₉), также, очевидно, будет нормальным единичным вектором данной плоскости.

Рассмотрим, как располагается плоскость относительно системы координат в зависимости от значений А, В, С, D в общем уравнении плоскости.

а) Если в уравнении (1) А = 0, т. е. если это уравнение имеет вид By + Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; В; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен оси Ох, следовательно, плоскость параллельна этой оси. Если не только А = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид By + Cz  = 0, то плоскость проходит через начало координат. Поэтому в случае А = D = 0 плоскость проходит через ось Ох, Аналогично рассматриваются случаи, когда В = 0 (плоскость параллельна оси ординат) или С = 0 (плоскость параллельна оси апликат).

б) Если в уравнении (1) А = 0 и В = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz + D = 0, то нормальный вектор имеет координаты (0; 0; С). Вектор с такими координатами перпендикулярен плоскости хОу, следовательно, в этом случае плоскость (1) параллельна координатной плоскости хОу. Если не только А = В = 0, но и D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Cz = 0, то плоскость не только параллельна координатной плоскости хОу, но и проходит через начало координат. Поэтому в случае А = В = D = 0 уравнением (1) задается координатная плоскость хОу.

Аналогично рассматриваются случаи, когда какая-нибудь другая пара коэффициентов при переменных х, у, z в уравнении (1) равна нулю.

в) Если в уравнении (1) D = 0, т. е. если уравнение имеет вид Ах + By + Cz  = 0, то плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору (А; В; С).

г) Если в уравнении (1) все коэффициенты при переменных и свободный член отличны от нуля, то оно может быть преобразовано в уравнение плоскости в отрезках:

В этом случае плоскость пересекает координатные оси в точках:
(— ^D/_A; 0; 0), (0;— ^D/_B; 0), (0; 0; — ^D/_C ). По этим трем точкам плоскость легко построить.