Глава V*. Уравнения   прямых  и  плокостей  в  пространстве.

§ 65. Вычисление угла между плоскостями.
         Условия параллельности и перпендикулярности

Рассмотрим две плоскости р₁ и р₂ с нормальными векторами n₁ и n₂. Угол φ  между плоскостями р₁ и р₂  выражается через угол ψ =  следующим образом: если ψ < 90°, то φ = ψ (рис. 202, а); если ψ > 90°, то ψ = 180° — ψ (рис. 202,6).

Очевидно, что в любом случае справедливо равенство

cos φ = | cos ψ|

Согласно формуле (1) § 20 имеем

и, следовательно, косинус угла φ между плоскостями р₁ и р₂ может быть вычислен по формуле

             (1)

Если плоскости заданы общими уравнениями

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0   и   А₂х + B₂y + C₂z + D₂ = 0,

то за их нормальные векторы можно взять векторы n₁ = (A₁; B₁; С₁) и n₂ = (A₂; B₂; С₂).

Записав правую часть формулы (1) через координаты, получим

        (2)

Задача 1. Вычислить угол между плоскостями

х— √2 y + z — 2 = 0   и  х+ √2 y — z + 13 = 0.

В данном случае A₁.=1, B₁ = — √2 , С₁ = 1, A₂ =1, B₂ = √2, С₂ = — 1.

По формуле (2) получаем

Следовательно, угол между данными плоскостями равен 60°.

Плоскости с нормальными векторами n₁ и n₂:

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы n₁ и n₂ коллинеарны;

б) перпендикулярны, тогда и только тогда, когда векторы n₁ и n₂ перпендикулярны, т. е. когда n₁ • n₂ = 0.

Отсюда получаем.необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

Для того чтобы плоскости

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0   и   А₂х + B₂y + C₂z + D₂ = 0

были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

      (3)

В случае, если какой-либо из коэффициентов A₂, B₂, С₂ равен нулю, подразумевается, что равен нулю и соответствующий коэффициент A₁, B₁, С₁

Невыполнение хотя бы одного из этих двух равенств означает, что плоскости не параллельны, т. е. пересекаются.

Для перпендикулярности плоскостей

А₁х + B₁y + C₁z + D₁ = 0   и   А₂х + B₂y + C₂z + D₂ = 0

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

А₁А₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.        (4)

Задача 2. Среди следующих пар плоскостей:

2х + 5у + 7z — 1 = 0   и   3х — 4у + 2z = 0,

у — 3z + 1 = 0 и   2у — 6z + 5 = 0,

4х + 2у — 4z + 1 = 0  и   2х + у + 2z + 3 = 0

указать параллельные или перпендикулярные. Для первой пары плоскостей

А₁А₂ + B₁B₂ + C₁C₂  = 2 • 3 + 5 • (— 4) + 7•2 = 0,

т. е. выполняется условие перпендикулярности. Плоскости перпендикулярны.

Для второй пары плоскостей

а коэффициенты А₁ и А₂ равны нулю. Следовательно, плоскости второй пары параллельны. Для третьей пары

и А₁А₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 4•2 + 2•1 — 4•2 =/= 0, т. е. плоскости третьей пары не параллельны и не перпендикулярны.