Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 82. Объем прямого цилиндра.

Пусть в пространстве задано ограниченное тело D.  Всякий многогранник K, содержащий тело D, будем называть описанным около тела D, а всякий, многогранник K', содержащийся в D, будем называв вписанным  в телo D.

Если для тела D существуют последовательности вписанных и описанных многогранников

K'n   D    Kn,     nN,

объемы которых V'n и Vn имеют общий предел

V'n  =  Vn  = V,

то число V называется объемом тела D.

Отметим, что объем тела, определенный таким образом, обладает свойствами инвариантности и аддитивности.

Замечание. Можно доказать, что если для тела D существуют две последовательности вписанных и описанных тел (не обязательно многогранников), объемы которых имеют общий предел V, то объем тела D равен числу V.

Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,

где Q — площадь основания, а Н — высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Qn и Q'n  таких, что

Qn =  Q'n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

Vn = QnH  и  V'n = Q'nH.

Следовательно,

V=  QnH =  Q'nH = QH.  

Следствие. Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R2H

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R2, и поэтому
V = QH = π R2H.

Задача. В прямой круговой цилиндр вписана правильная треугольная призма (рис. 246). Найти отношение объема цилиндра к объему призмы.

Так как цилиндр и призма имеют одинаковую высоту, то отношение их объемов равно отношению площадей оснований:

Очевидно, что Qц = π R2, где R — радиус основания цилиндра.

В основании призмы лежит правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Длина его стороны равна √3R и поэтому Qп3√3/4   R2.

Следовательно,

Используются технологии uCoz