Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 89*. Объем произвольного конуса.

Теорема. Объем произвольного конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту, т.е.

V = 1/3QH,        (1)

где Q — площадь основания, а Н — высота конуса.

Рассмотрим конус с вершиной S и основанием Ф (рис. 269).

Пусть площадь основания Ф равна Q, а высота конуса равна Н. Тогда существуют последовательности многоугольников Фп и Ф'п с площадями Qп и Q'п таких, что
Фп ФпФ'п и  Q'п =  Qп = Q.

Очевидно, что пирамида с вершиной S и основанием Ф'п будет вписанной в данный конус, а пирамида с вершиной S и основанием Фп — описанной около конуса.

Объемы этих пирамид соответственно равны

Vп =  1/3QпH  ,   V'п =  1/3Q'пH

Так как

 Vп =  V'п = 1/3QH

то формула (1) доказана.

Следствие. Объем конуса, основанием которого является эллипс с полуосями а и b, вычисляется по формуле

V = 1/3 π abH.     (2)

В частности, объем конуса, основанием которого является круг радиуса R, вычисляется по формуле

V =  1/3 π R2H,      (3)

где Н — высота конуса.

Как известно (§ 87), площадь эллипса с полуосями а и b равна π ab, и поэтому формула (2) получается из (1) при Q = π ab. Если а = b = R, то получается формула (3).

Используются технологии uCoz