Глава VII. Объемы тел и площади поверхностей.

§ 92. Площадь сферы и ее частей.

Теорема 1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

S = 4πR²      (1)

Сфера радиуса R может быть получена вращением вокруг оси Ох полуокружности, заданной уравнением

у = √R² — х²   ,   х  [— R; R ]

Тогда по формуле для площади поверхности вращения получаем

Аналогично выводится формула для площади сферического пояса, который получается вращением вокруг оси Ох дуги окружности (рис. 276)    у = √R² — х²   ,   х  [a; b ].

Действительно,

Теорема 2. Площадь сферического пояса радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле

S = 2πRH.      (3)

Формула (3) получается из формулы (2), так как Н = b — а.

Сферический сегмент можно получить вращением дуги окружности

 у = √R² — х²   ,    a < x < R

вокруг оси Ох. Следовательно, сферический сегмент есть частный случай сферического пояса (b = R).

Следствие. Площадь сферического сегмента радиуса R и высоты Н вычисляется по формуле (3).

3 а д а ч а. В сферу вписан куб с ребром а (рис. 277).

Найти площади:
 а) сферы;
 б) сферического пояса, отсекаемого плоскостями верхней и нижней граней куба;

а) Диагональ куба с ребром а равна √3 а. Следовательно, | АС₁| = √3 а. С другой стороны, если R — радиус сферы, то  | АС₁| = 2R. Поэтому 2R = √3 а, т. е. R= ^√3/₂  a.

По формуле (1) находим площадь S сферы: S = 4πR² = 4π  ³/₄ а² = 3π а² .

б) Высота сферического пояса в данном случае, очевидно,  равна а. Положив в  формуле   (3)   Н = а и  R = ^√3/₂  a, найдем площадь S₁ сферического пояса

S₁ = 2πRH = 2π ^√3/₂  а² = π√3 а² .

в) Высота сферического сегмента равна длине отрезка O₁K. Вычислим ее:

| О₁К| = |OK| — |OO₁| = R— ^a/₂ = ^√3/₂  a — ^a/₂ = ^√3—1/₂  a

Положив в формуле (3) Н = ^√3—1/₂  a  и R= ^√3/₂  a, найдем площадь S₂ сферического сегмента:

S₂ = 2πRH = 2π ^√3/₂  а ^√3—1/₂  a  = π  ^3—√3/₂  a²