АЛГЕБРА     В НАЧАЛО

Предисловие

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.

Предлагаемая книга „Элементы алгебры и анализа" значительно разнитоя от моей „Элементарной алгебры", переизданной в переработанном виде в 1923 году.

Различие это троякого рода:

во-первых, весь материал заново переработан с целью, главным образом, его упрощения и лучшего распределения;

во-вторых, настоящая книга содержит в себе элементы анализа бесконечно-малых, с его применениями к вопросам элементарной геометрии и начальной механики, и краткие сведения по аналитической геометрии, без которых элементарный курс математики был бы неполным;

в-третьих, в конце книги помещены некоторые дополнения к обычному курсу алгебры, напр, теория соединений, бином Ньютона, однозначность первых четырех алгебраических действий и другие.

Укажу сначала главнейшие изменения первого рода, причем буду держаться той последовательности в какой материал распределен в предлагаемой книге.

Изложение относительных чисел по возможности упрощено и поставлено раньше понятия об уравнении, чтобы при решении уравнений иметь возможность не стесняться невозможностью вычитания.

Изложение так называемых „алгебраических действий" (тождественных преобразований) проведено теперь более индуктивным путем, чем прежде, и местами сокращено.

Глава „Алгебраические дроби" значительно упрощена (напр.§ 77—основное свойство дроби, § 83—умножение дробей, и др). Равным образом упрощено изложение отношений и пропорций; все оно ведется теперь ближе к арифметическим понятиям.

В главе этой сделано небольшое добавление о производных  пропорциях (§ 98), с которыми приходится иметь дело в геометрии,  а  также указано геометрическое применение свойства равных отношений (к установлению пропорциональности между периметрами и сходственными сторонами подобных многоугольников).

В §§ 103 и 105 выражение формулой пропорциональности (прямой и обратной) сделано более конкретно, чем прежде.

Подробнее изложено о графике двучлена первой степени и о графическом решении уравнения.

Обстоятельнее развито понятие о равносильности уравнений, получаемых из данного уравнения посредством прибавления к его частям одного и того же числа или посредством умножения частей на одно и то же число (§§ 120—124)

Добавлено графическое истолкование некоторых случаев решения уравнения ах = b (§133). Добавлен параграф (134) о буквенных уравнениях.

О целью лучшего уяснения процесса извлечения корня предварительно указано сокращенное возвышение в квадрат целого числа (§ 157).

Значительно упрощено объяснение извлечения квадратного корня из чисел. Теперь все изложение ведется чисто арифметическим путем, без посредства уравнения с 2 неизвестными, как это делалось в моей прежней алгебре, и без предварительного установления свойства числа десятков корня и свойства числа его единиц. Для нахождения приближенных квадратных корней дано более практичное правило (§ 177).

В конце книги приложены таблицы квадратных корней четырехзначных чисел как целых, так и дробных; объяснение их помещено в тексте книги (§ 178). Таблицы эти взяты мною из известного английского учебника: „Elementary algebra by G о d f г е у and S iddоns (1924 г.). Они значительно сокращают время и труд при вычислениях и служат хорошим пособием при разъяснении некоторых статей алгебры (напр., при построении графика показательной функции y = 10x при помощи частных значении этой функции при х =  1/2,  1/4,  1/8 ,  1/16, и т. д. (§ 26З).

В главе о приближенных вычислениях, помимо более конкретного изложения, добавлены еще правила сокращенного умножения и сокращенного деления, позволяющие сравнительно быстро находить приближенное произведение и частное с желаемой степенью точности.

Целая функция 2-й степени и ее графическое изображение рассмотрены в предлагаемой книге значительно подробнее, чем   прежде (§§ 220—228).

При изложении свойств функции у = x2, у = x3 и других (показательной, логарифмической и пр.) прежде всего решаются вопросы о возможности функции, об ее однозначности или многозначности и (до некоторой степени) об ее непрерывности, и только после разрешения этих вопросов указывается построение их графиков по таблице частных значений.

Вместо обратной функции у = 3х      рассматривается    более простая функция у = √х , на которой впервые для читателя  обнаруживается свойство многозначности. При этом наглядно устанавливается соотношение между графиком прямой функции и графиком ей обратной (§ 182); соотношение это в дальнейшем позволяет быстро и легко найти график логарифмической функции по графику показательной и вообще график обратной функции по графику прямой.

При решении иррациональных уравнений более наглядно, чем прежде, разъясняется причина появления посторонних решений (§ 231).

Свойства бесконечных прогрессий, а также первое понятие о пределе изложены в этой книге более просто, чем прежде (§§ 250—254).

Сокращено и лишено абстрактности изложение показателей отрицательных и дробных (§§ 256—261).

Добавлена глава о некоторых свойствах степени с рациональными показателями для лучшего усвоения свойств показательной и логарифмической функции (§ 262),

Для лучшей иллюстрации свойств десятичных логарифмов В графикам функций y = 2x и  y =( 1/2)  x (и им обратных) добавлены еще графики функций y = 10x и y = log 10x .

С целью упрощения весь отдел о логарифмах переделан заново.

Описание таблиц пятизначных логарифмов заменено описанием таблиц четырехзначных, пользование которыми значительно проще и которые тем не менее вполне достаточны для практических целей вычисления.

В конце книги приложены и самые таблицы четырехзначных логарифмов и антилогарифмов.

Таким образом, изменения, внесенные теперь в изложение прежнего  алгебраического  материала,   имеют   целью главным образом отвлеченность заменить конкретностью, дедуктивные выводы иллюстрировать индуктивно и тем самым облегчить читателю усвоение учебного материала.

Переходя теперь к тем отделам этой книги, которые можно назвать новыми (элементы анализа и аналитической геометрии) сравнительно  с прежним  материалом  алгебры,  надо  прежде всего заметить,  что  содержание этих отделов (а также и элементов  алгебры)  находится в   соответствии  с   появившимися в 1925 году программами-минимум единой трудовой школы, изданными Научно-методическим советом Ленинградского губон о. Статьи эти следующие:

1.  Основные  свойства  пределов  и  применение  их к вопросам элементарной геометрии (определение длины окружности, площади круга, боковых поверхностей цилиндра и конуса, объемов пирамиды, цилиндра, конуса и шара).

2.  Начальные   сведения   о   производных   функциях  и их применение  к алгебраическому анализу (признаки возрастания  и  убывания функций, нахождение maximum и minimum, определение вогнутости и выпуклости кривых, исследование целых функций 2-й и 3-й отепеней и пр.) и к вопросам элементарной   механики  (нахождение  скорости по данному закону пространства и нахождение ускорения по данному закону скорости, с иллюстрацией этих применений примерами свободного падения тел и движения  тела,  брошенного вертикально вверх).

3.  Элементарные сведения  по  аналитической   геометрии  (уравнения прямой,   окружности,   эллипса,   гиперболы и параболы) с указанием главнейших свойств кривых 2-го порядка.

4.  Понятие   о   первообразной   функции  и ее применения в геометрии   (нахождение объемов пирамиды, конуса, шарового сегмента) и в механике (нахождение пространства по данной скорости и скорости но данному ускорению).

Изложение всех этих статей я стремился выполнить возможно конкретнее и нагляднее, при посредстве большого количества чертежей (число их в книге равно 119): При этом пособиями мне, между прочим, служили:

С. Godfrey   and  A.  W. Siddons. Elementary  algebra   (1924).

W. E. Paterson. School algebra (1924).

S. Bernard and J. M. Child. A new algebra.

Charles Davison. Higher algebra for colleges.

Dr. Josef Jacob. Arithmetik (1921).

Prof. Dr. G. Ulrich. Ausfuhrlisches Lehrbuch fur den Selbst-unterricht (1922).     .

Prof. Dr. Chr. Schmehl. Die Algebra und algebraische Analysis.

Behrendsen-Gotting.Lehrbuch der Mathematik nach modernen  Grundsatzen.

Richard Sappantschisch. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.

И. другие.

В приложении я поместил еще краткое изложение теории соединений и бинома Ньютона и некоторые другие дополнительные статьи, полезные для тех лиц, которые желают углубить и расширить свои сведения по элементарной математике.

Впоследствии я намерен дополнить мои „Элементы" еще и систематически подобранными упражнениями и задачами.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.

Пятое издание подразделено на 2 части. К первой части отнесены „Элементы алгебры" с приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов; ко второй — „Элементы анализа" вместе с некоторыми дополнительными  статьями по алгебре.

Сверх того в пятом издании книги введены следующие изменения и дополнения:

1.  Сделаны многочисленные исправления и улучшения; напр., в § 109 (часть первая) добавлено (мелким шрифтом) обобщение и уточнение доказательства того, что график прямой пропорциональной зависимости есть прямая линия; в §320 (часть 2-я) улучшено разъяснение недостаточности  определения касательной, как такой прямой,  которая с кривою   имеет  только   одну общую точку, и многие другие.

2.  Решение  неравенства второй  степени (с одним неизвестным), помещавшееся в предыдущих изданиях в „добавлениях" (в конце книги), перенесено теперь в главу о трехчлене второй степени (часть 1-я, § 228,2), где оно является более уместным.

3.  Равным обраэом, „Соединения" и „Бином Ньютона", помещавшиеся в  „добавлениях",   отнесены  теперь к „Элементам алгебры" и помещены в конце первой части.

4.  Совершенно   переработано   доказательство   свойства касательной  (что  она есть  биссектриса   угла,   образованного...) к эллипсу, к гиперболе и к параболе (часть вторая, §§ 360, 365 и 369). В настоящем  издании это доказательство исходит непосредственно из общего определения касательной как предельного положения секущей, тогда как в предыдущих изданиях доказательство основывалось на неверном допущении, что прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, есть касательная к этой кривой.

5.  Из добавлений теперь выпущена имеющая только теоретическое значение глава: „ Освобождение уравнения от  знаков радикала помощью неопределенных коэффициентов*. Она заменена теперь более важными для курса алгебры главами: „Общие формулы решения системы двух уравнений  первой  степени" (часть, 2-я, § 396 и след.),   „Понятие о комплексных числах" (§ 400 и след.) и другими.

6.  К настоящему изданию изготовлены мною многочисленные упражнения и задачи, расположенные сообразно порядку следования параграфов текста книги. Упражнения к „Элементам алгебры", ввиду их значительного объема (более 1200 №№), выделены в. особую книжку под названием: Упражнения и задачи к „Элементам алгебры". Упражнения же к „Элементам анализа" помещены в конце второй части.

 

Используются технологии uCoz