Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Предлагаемая книга „Элементы алгебры и анализа" значительно разнитоя от моей „Элементарной алгебры", переизданной в переработанном виде в 1923 году.
Различие это троякого рода:
во-первых, весь материал заново переработан с целью, главным образом, его упрощения и лучшего распределения;
во-вторых, настоящая книга содержит в себе элементы анализа бесконечно-малых, с его применениями к вопросам элементарной геометрии и начальной механики, и краткие сведения по аналитической геометрии, без которых элементарный курс математики был бы неполным;
в-третьих, в конце книги помещены некоторые дополнения к обычному курсу алгебры, напр, теория соединений, бином Ньютона, однозначность первых четырех алгебраических действий и другие.
Укажу сначала главнейшие изменения первого рода, причем буду держаться той последовательности в какой материал распределен в предлагаемой книге.
Изложение относительных чисел по возможности упрощено и поставлено раньше понятия об уравнении, чтобы при решении уравнений иметь возможность не стесняться невозможностью вычитания.
Изложение так называемых „алгебраических действий" (тождественных преобразований) проведено теперь более индуктивным путем, чем прежде, и местами сокращено.
Глава „Алгебраические дроби" значительно упрощена (напр.§ 77—основное свойство дроби, § 83—умножение дробей, и др). Равным образом упрощено изложение отношений и пропорций; все оно ведется теперь ближе к арифметическим понятиям.
В главе этой сделано небольшое добавление о производных пропорциях (§ 98), с которыми приходится иметь дело в геометрии, а также указано геометрическое применение свойства равных отношений (к установлению пропорциональности между периметрами и сходственными сторонами подобных многоугольников).
В §§ 103 и 105 выражение формулой пропорциональности (прямой и обратной) сделано более конкретно, чем прежде.
Подробнее изложено о графике двучлена первой степени и о графическом решении уравнения.
Обстоятельнее развито понятие о равносильности уравнений, получаемых из данного уравнения посредством прибавления к его частям одного и того же числа или посредством умножения частей на одно и то же число (§§ 120—124)
Добавлено графическое истолкование некоторых случаев решения уравнения ах = b (§133). Добавлен параграф (134) о буквенных уравнениях.
О целью лучшего уяснения процесса извлечения корня предварительно указано сокращенное возвышение в квадрат целого числа (§ 157).
Значительно упрощено объяснение извлечения квадратного корня из чисел. Теперь все изложение ведется чисто арифметическим путем, без посредства уравнения с 2 неизвестными, как это делалось в моей прежней алгебре, и без предварительного установления свойства числа десятков корня и свойства числа его единиц. Для нахождения приближенных квадратных корней дано более практичное правило (§ 177).
В конце книги приложены таблицы квадратных корней четырехзначных чисел как целых, так и дробных; объяснение их помещено в тексте книги (§ 178). Таблицы эти взяты мною из известного английского учебника: „Elementary algebra by G о d f г е у and S iddоns (1924 г.). Они значительно сокращают время и труд при вычислениях и служат хорошим пособием при разъяснении некоторых статей алгебры (напр., при построении графика показательной функции y = 10x
при помощи частных значении
этой функции при х = 1/2, 1/4, 1/8 , 1/16, и т. д. (§ 26З).
В главе о приближенных вычислениях, помимо более конкретного изложения, добавлены еще правила сокращенного умножения и сокращенного деления, позволяющие сравнительно быстро находить приближенное произведение и частное с желаемой степенью точности.
Целая функция 2-й степени и ее графическое изображение рассмотрены в предлагаемой книге значительно подробнее, чем прежде (§§ 220—228).
При изложении свойств функции у = x2, у = x3 и других (показательной, логарифмической и пр.) прежде всего решаются вопросы о возможности функции, об ее однозначности или многозначности и (до некоторой степени) об ее непрерывности, и только после разрешения этих вопросов указывается построение их графиков по таблице частных значений.
Вместо обратной функции у = 3√х рассматривается более простая функция у = √х , на которой впервые для читателя обнаруживается свойство многозначности. При этом наглядно устанавливается соотношение между графиком прямой функции и графиком
ей обратной (§ 182); соотношение это в дальнейшем позволяет быстро и легко найти график логарифмической функции по графику показательной и вообще график обратной функции по графику прямой.
При решении иррациональных уравнений более наглядно, чем прежде, разъясняется причина появления посторонних решений (§ 231).
Свойства бесконечных прогрессий, а также первое понятие о пределе изложены в этой книге более просто, чем прежде (§§ 250—254).
Сокращено и лишено абстрактности изложение показателей отрицательных и дробных (§§ 256—261).
Добавлена глава о некоторых свойствах степени с рациональными показателями для лучшего усвоения свойств показательной и логарифмической функции (§ 262),
Для лучшей иллюстрации свойств десятичных логарифмов В графикам функций y = 2x и y =( 1/2) x (и им обратных) добавлены еще графики функций y = 10x и y = log 10x .
С целью упрощения весь отдел о логарифмах переделан заново.
Описание таблиц пятизначных логарифмов заменено описанием таблиц четырехзначных, пользование которыми значительно проще и которые тем не менее вполне достаточны для практических целей вычисления.
В конце книги приложены и самые таблицы четырехзначных логарифмов и антилогарифмов.
Таким образом, изменения, внесенные теперь в изложение прежнего алгебраического материала, имеют целью главным образом отвлеченность заменить конкретностью, дедуктивные выводы иллюстрировать индуктивно и тем самым облегчить читателю усвоение учебного материала.
Переходя теперь к тем отделам этой книги, которые можно назвать новыми (элементы анализа и аналитической геометрии) сравнительно с прежним материалом алгебры, надо прежде всего заметить, что содержание этих отделов (а также и элементов алгебры) находится в соответствии с появившимися в 1925 году программами-минимум единой трудовой школы, изданными Научно-методическим советом
Ленинградского губон о. Статьи эти следующие:
1. Основные свойства пределов и применение их к вопросам элементарной геометрии (определение длины окружности, площади круга, боковых поверхностей цилиндра и конуса, объемов пирамиды, цилиндра, конуса и шара).
2. Начальные сведения о производных функциях и их применение к алгебраическому анализу (признаки возрастания и убывания функций, нахождение maximum и minimum, определение вогнутости и выпуклости кривых, исследование целых функций 2-й и 3-й отепеней и пр.) и к вопросам элементарной механики (нахождение скорости по данному закону пространства и нахождение ускорения по данному
закону скорости, с иллюстрацией этих применений примерами свободного падения тел и движения тела, брошенного вертикально вверх).
3. Элементарные сведения по аналитической геометрии (уравнения прямой, окружности, эллипса, гиперболы и параболы) с указанием главнейших свойств кривых 2-го порядка.
4. Понятие о первообразной функции и ее применения в геометрии (нахождение объемов пирамиды, конуса, шарового сегмента) и в механике (нахождение пространства по данной скорости и скорости но данному ускорению).
Изложение всех этих статей я стремился выполнить возможно конкретнее и нагляднее, при посредстве большого количества чертежей (число их в книге равно 119): При этом пособиями мне, между прочим, служили:
С. Godfrey and A. W. Siddons. Elementary algebra (1924).
W. E. Paterson. School algebra (1924).
S. Bernard and J. M. Child. A new algebra.
Charles Davison. Higher algebra for colleges.
Dr. Josef Jacob. Arithmetik (1921).
Prof. Dr. G. Ulrich. Ausfuhrlisches Lehrbuch fur den Selbst-unterricht (1922). .
Prof. Dr. Chr. Schmehl. Die Algebra und algebraische Analysis.
Behrendsen-Gotting.Lehrbuch der Mathematik nach modernen Grundsatzen.
Richard Sappantschisch. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra.
И. другие.
В приложении я поместил еще краткое изложение теории соединений и бинома Ньютона и некоторые другие дополнительные статьи, полезные для тех лиц, которые желают углубить и расширить свои сведения по элементарной математике.
Впоследствии я намерен дополнить мои „Элементы" еще и систематически подобранными упражнениями и задачами.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ.
Пятое издание подразделено на 2 части. К первой части отнесены „Элементы алгебры" с приложением четырехзначных таблиц квадратных корней, логарифмов и антилогарифмов; ко второй — „Элементы анализа" вместе с некоторыми дополнительными статьями по алгебре.
Сверх того в пятом издании книги введены следующие изменения и дополнения:
1. Сделаны многочисленные исправления и улучшения; напр., в § 109 (часть первая) добавлено (мелким шрифтом) обобщение и уточнение доказательства того, что график прямой пропорциональной зависимости есть прямая линия; в §320 (часть 2-я) улучшено разъяснение недостаточности определения касательной, как такой прямой, которая с кривою имеет только одну общую точку, и многие другие.
2. Решение неравенства второй степени (с одним неизвестным), помещавшееся в предыдущих изданиях в „добавлениях" (в конце книги), перенесено теперь в главу о трехчлене второй степени (часть 1-я, § 228,2), где оно является более уместным.
3. Равным обраэом, „Соединения" и „Бином Ньютона", помещавшиеся в „добавлениях", отнесены теперь к „Элементам алгебры" и помещены в конце первой части.
4. Совершенно переработано доказательство свойства касательной (что она есть биссектриса угла, образованного...) к эллипсу, к гиперболе и к параболе (часть вторая, §§ 360, 365 и 369). В настоящем издании это доказательство исходит непосредственно из общего определения касательной как предельного положения секущей, тогда как в предыдущих изданиях доказательство основывалось
на неверном допущении, что прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, есть касательная к этой кривой.
5. Из добавлений теперь выпущена имеющая только теоретическое значение глава: „ Освобождение уравнения от знаков радикала помощью неопределенных коэффициентов*. Она заменена теперь более важными для курса алгебры главами: „Общие формулы решения системы двух уравнений первой степени" (часть, 2-я, § 396 и след.), „Понятие о комплексных числах" (§ 400 и след.) и другими.
6. К настоящему изданию изготовлены мною многочисленные упражнения и задачи, расположенные сообразно порядку следования параграфов текста книги. Упражнения к „Элементам алгебры", ввиду их значительного объема (более 1200 №№), выделены в. особую книжку под названием: Упражнения и задачи к „Элементам алгебры". Упражнения же к „Элементам анализа" помещены в конце второй части.
|