| АЛГЕБРА В НАЧАЛО |
|
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ. Глава первая. Алгебраическое знакоположение. Глава первая. Алгебраическое знакоположение. 1. Употребление букв. а) Для выражения общих свойств чисел. Пусть мы желаем кратко выразить на письме, что произведение двух чисел не изменится, если мы поменяем местами множимое со множителем. Тогда, обозначив одно число буквой а, а другое буквой b, мы можем написать равенство: a • b = b • a или короче: аb = bа, условившись раз навсегда, что если между двумя буквами, написанными рядом, не стоит никакого знака, то это значит, что между ними подразумевается знак умножения. Так поступают всегда, если желают выразить, что некоторое свойство принадлежит не каким-нибудь отдельным числам, а всяким числам. Буквы для обозначения чисел берутся обыкновенно из латинского (или французского) алфавита. б) Для сокращенного выражения правила, посредством которого можно решать задачи, сходные по условиям, но различающиеся только величиной данных чисел. Положим, напр., мы решаем задачу: найти 3% числа 520. Тогда рассуждаем так: так как 1% какого-нибудь числа составляет 1/100 этого числа, то 1% числа 520 составляет 520/100 = 5,2 , а 3% „ „ „ 520/100 • 3 = 15,6 Решив несколько подобного рода задач, мы замечаем, что для нахождения процентов какого-нибудь числа достаточно разделить это число на 100 и результат умножить на число процентов. Чтобы выразить это наглядно, мы предложим задачу в таком общем виде: найти р% числа а. Задачу решаем так: 1% числа а составляет а/100, p% „ „ „ a/100 • p Обозначив искомое число буквой х, мы можем написать равенство: х = a/100 • p , из которого прямо видно, как можно находить проценты от любого данного числа. Подобно этому, если мы желаем кратко выразить правило умножения или деления дроби на дробь, мы обозначаем дроби буквами: a/b и c/d и пишем равенства: a/b • c/d = ac/bd ; a/b : c/d = ad/bc Заметим, что всякое равенство, выражающее посредством букв и знаков действий какое-нибудь предложение, касающееся чисел, называется формулой. Укажем еще некоторые арифметические формулы. Если буквой n обозначим любое целое число, то произведение 2n выразит любое четное число. Так, если вместо n будем подставлять целые числа: 1, 2, 3, 4, ..., то произведение 2n даст: 2 • 1 = 2; 2 • 2 = 4; 2 • 3 = 6; 2 • 4 = 8, и т. д. При n целом сумма 2n + l выражает любое нечетное число; так, если n = 0, 1, 2, 3, 4,..., то сумма 2n + l даст: 2 • 0+1=0 + 1 = 1; 2 • 1 + 1 = 2 + 1=3; 2 • 2 + 1 = 4 + 1 = 5, и т. д. Если в каком-нибудь двузначном числе на месте десятков стоит цифра а, а на месте единиц цифра b, то всех единиц в таком числе будет 10а + b. Напр., в числе, у которого деоят-ков 7, а простых единиц 9, всего единиц будет 10 • 7 + 9 = 70 + 9 = 79. Равным образом, если в трехзначном числе на месте сотен стоит цифра а, на месте десятков — цифра b и на месте единиц — цифра с, то всех единиц в таком числе должно быть 100а + 10b + с. Напр., если в числе 3 сотни, 5 десятков и 8 единиц, то всего единиц оно содержит 100 • 3 + 10 • 5 + 8 = 358. Приведем еще некоторые формулы, известные из геометрии. Если основание и высоту прямоугольника измерим одной и той же линейной единицей и для основания получим число b, а для высоты — число h, то площадь s этого прямоугольника, выраженная в соответствующих квадратных единицах, будет s = bh,. При тех же обозначениях для треугольника получим формулу s = 1/2 bh, для трапеции s = 1/2 ( b1+ b2 )h , где b1 и b2 означают числа, измеряющие в одной и той же единице оба основания трапеции; для площади круга мы пишем формулу s = πR2, где R — радиус, π — отвлеченное число, означающее отношение длины окружности к ее диаметру (оно равно приблизительно 3,14); для объема V шара применяется формула V = 4/3 πR3 и т. п. 2. Алгебраическое выражение. Если несколько чисел, обозначенных буквами (или буквами и цифрами), соединены между собой посредством знаков, указывающих, какие действия надо произвести над числами, то такое обозначенпе называется алгебраическим выражением. Таковы, напр., обозначения: a/100 • p ; ab ; 2x +1 ; Для краткости речи мы часто будем, вместо „алгебраическое выражение", говорить просто „выражение". Вычислить какое-нибудь выражение для данных численных значений букв значит подставить в него на место букв эти численные значения и произвести все указанные в выражении действия; число, получившееся после этого, называется численной величиной алгебраического выражения для данных численных значений букв. Так, численная величина выражения a/100 • p при р= 3 и а = 520 равна 520/100 • 3 = 5,2 • 3 = 15,6. 3. Действия, рассматриваемые в алгебре, следующие: сложение, вычитание, умножение; деление, возвышение в степень и извлечение корня. Что такое первые четыре действия, известно из арифметики. Пятое действие — возвышение в степень — представляет собой особый случай умножения, когда перемножаются несколько одинаковых сомножителей. Произведение таких сомножителей называется степенью, а число их — показателем степени. Если какое-нибудь число берется сомножителем 2 раза, то произведение называется второй степенью; если какое-нибудь число берется сомножителем 3 раза, то произведение называется третьей степенью, и т. д. Так, вторая степень 5 есть произведение 5 • 5 т. е. 25; Вторая степень называется иначе квадратом, а третья степень — кубом. Причина этих названий состоит в том, что произведение a • a выражает (в квадратных единицах) площадь квадрата со стороною в а линейных единиц, а произведение a • a • a выражает (в кубических единицах) объем куба с ребром в а линейных единиц. Об извлечении корня мы пока говорить не будем, так как это действие в начале алгебры не рассматривается. 4. Знаки, употребляемые в алгебре. Для обозначения первых четырех действий в алгебре употребляются те же знаки, как и в арифметике, только знак умножения, как мы уже говорили, обыкновенно нe пишется, если оба сомножителя, или один из них, обозначены буквами. Напр., вместо a x b (или вместо a • b) пишут просто аb и вместо 3 • a пишут 3а. Как знак деления, безразлично, употребляется или двоеточие (:), или черта (горизонтальная или наклонная); так, выражения:
означают одно и то же, а именно, что число а делится на другое число b. Возвышение в степень принято сокращенно выражать так: пишут число, которое требуется повторить сомножителем, а над ним, c правой стороны, ставят другое число — показатель степени, выражающий, сколько раз возвышаемое число должно быть повторено сомножителем. Так, 34 (читается: три в четвертой степени) заменяет собою подробное обозначение: 3 • 3 • 3 • 3. Если при числе не стоит никакого показателя степени, то можно подразумевать при нем показателем единицу; напр., а означает то же самое, что и а1, так как первою степенью числа принято называть само это число. Равенство чисел обозначается знаком = , а неравенство или знаком > (больше) или знаком < (меньше). Напр., если написано 5 + 2 = 7; 5 + 2>6; 5 + 2<10, то это значит: 5 + 2 равно 7; 5 + 2 больше 6; 5 + 2 меньше 10. Для указания порядка действий употребляются скобки; например, выражение: a{ b — [c + (d — e)]} показывает, что действия над числами а, b, с, d и e должны быть выполнены в таком порядке: из d вычитается e, полученная разность прикладывается к с, полученная сумма вычитается из b и на эту разность умножается а; значит, сначала производятся действия, указанные внутри малых скобок ( ), потом действия, указанные внутри ломаных скобок [ ], затем действия, стоящие внутри фигурных скобок { }. Замечание. Для сокращения письма принято в некоторых случаях скобки не ставить, а только подразумевать их. Напр., скобки не ставятся при обозначении последовательных сложений, вычитаний и умножений; так, вместо [ (а + b) + с] + d пишут а + b + с + d; вместо [ (а — b) — с] — d пишут а — b — с — d; вместо [ (аb)с]d пишут аbсd; В этих случаях порядок действий указывается самим выражением (слева направо). В некоторых других случаях также принято скобки опускать; мы сб этом скажем тогда, когда представится надобность. 5. Исторические сведения. В древние времена математики (главным образом греческие, индусские и арабские) очень мало пользовались математическими знаками (символами) для обозначений действий над числами. Математические предложения выражались большею частью словами и писались посредством тех же письменных знаков, которые служили для выражения речи вообще. В XV—XVI столетиях стали появляться особые знаки действий и отношений. Раньше других были введены знаки + и —, появившиеся впервые в рукописи великого итальянского живописца и архитектора Леонардо да-Винчи, а затем и в печатной арифметике немецкого математика Видмана (в 1489 г.). Знак умножения (x) был введен (в 1631 г.) английским математиком Оутрехтом. Для обозначения равенства введен был (в 1557 г.) английским алгебраистом Рекордом знак = ; „ибо,— как писал он,— никакие два предмета не могут быть более равными., чем две параллельные линии одинаковой длины". Другой английский математик Херриот ввел знаки > и < (в 1631 г.) и точку как знак умножения. Знаменитым немецким математиком Лейбницем (в 1694 г.) впервые введен знак (:) для обозначения деления, которое раньше обозначалось чертою. Скобки ( ), [ ] и { }встречаются впервые в трудах фламандского математика Жирара (в 1629 г.). Величайший французский математик XVII столетия Франциск Вьета вместо скобок употреблял черту, которую он ставил над выражением, рассматриваемым как одно целое. Он же стал употреблять буквы для обозначения чисел (впервые буквы появились в работах немецкого монаха Иеронима Неморариуса в XII столетии). Знаменитый французский философ и математик Рене Декарт в XVII столетии ввел в употребление для обозначения неизвестных чисел последние буквы алфавита и для обозначения данных чисел первые буквы алфавита. К началу XVIII века алгебраическое знакоположение достигло своего полного развития и с тех пор почти не изменялось (лишь с развитием науки добавлены были некоторые новые обозначения). Глава вторая. Свойства первых четырех арифметических действий. а) Возьмем сумму нескольких слагаемых, напр. 7 + 3 + 2. Мы можем производить сложение или в том порядке, в каком слагаемые написаны: 7 + 3 = 10; 10 + 2 = 12, или же можем переставить слагаемые, напр., так: 3 + 2 + 7, и произвести сложение в этом порядке: 3 + 2 = 5; 5 + 7 = 12. Как бы мы ни изменяли порядок данных слагаемых, сумма их остается одна и та же, именно 12. Это свойство сложения называется переместительным, так как оно состоит в том, что сумма не изменяется от перемещения слагаемых. Если обозначим слагаемые буквами а, b, с,..., то переместительное свойство сложения мы можем выразить такими равенствами: a + b + с +... = b + c + а +...= с + а + b +..., где ряд точек означает, что слагаемых может быть и более трех. б) Возьмем ту же сумму 3 + 7 + 2. Вместо того, чтобы вычислять ее так, как мы это делали сейчас, т. е. к первому слагаемому прибавить второе и к полученной сумме прибавить третье, мы можем взять из этой суммы какие угодно два слагаемые, напр. 7 и 2, сложить их: 7 + 2 = 9 и полученное число прибавить к первому слагаемому: 3 + 9 = 12. Свойство это называется сочетательным, так как оно состоит в том, что сумма не изменяется от соединения (от сочетания) каких-либо слагаемых в одно число. В применении к трем слагаемым это свойство (в соединении с переместительным свойством) можно выразить такими равенствами: a + b + с = а + (b + с) = b + (а + с) = с + (а + b), показывающими, что мы можем сложить какие-нибудь два числа и затем их сумму сложить с третьим числом. в) Пусть требуется к числу 325 прибавить число 243, т. е. прибавить сумму 200 + 40 + 3. Для этого можно к 325 приложить отдельно 200, потом 40, затем 3. Значит, чтобы к какому-нибудь числу приложить сумму, можно к .тому числу приложить каждое слагаемое отдельно одно за другим. Это можно выразить такою формулою: а + ( b + с + d +...) = а + b + с + d +... Полезно вспомнить еще следующее свойство сложения: г) Если какое-нибудь слагаемое увеличим (или уменьшим), то сумма увеличится (или уменьшится) и притом на столько же. а) Пусть из 849 надо вычесть 325, т. е. вычесть сумму 300 + 20 + 5. Для этого можно вычесть из 849 отдельно 300, 20 и 5. Значит, чтобы из какого-нибудь числа вычесть сумму, можно вычесть из этого числа каждое слагаемое отдельно одно за другим. Это свойство можно выразить такою формулою: а — (b + c + d +...) = а — b — c — d —... Полезно вспомнить еще следующие свойства вычитания. Так как уменьшаемое можно всегда рассматривать как сумму, а вычитаемое и остаток как слагаемые, то б) если увеличим (или уменьшим) уменьшаемое, то разность увеличится (или уменьшится) и притом на столько же; в) если увеличим (или уменьшим) вычитаемое, то разность уменьшится (или увеличится) и притом на столько же; г) если увеличим (или уменьшим) на одно и то же число уменьшаемое и вычитаемое, то разность не изменится. а) Умножение, как и сложение, обладает переместительным свойством, т. е. произведение не изменяется от перемещения сомножителей. Так: 2 • 5 • 7 = 5 • 7 • 2 = 7 • 5 • 2 = ... 3/4 • 1/2 • 5 = 1/2 • 5 • 3/4= 5 • 3/4 • 1/2 = ... Вообще: аbс = асb = bас = bса =... б) Так же, как и сложение, умножение обладает и сочетательным свойством: произведение не изменится, если какие-либо сомножители будут заменены их произведением. Так, произведение 7 • 2 • 5 не изменится, если мы сомножители 2 и 5 заменим их произведением, т. е. вместо того, чтобы вычислять это произведение в том порядке, в каком написаны сомножители: 7 • 2 • 5 = 14 • 5 = 70, станем вычислять его в порядке, указанном такими скобками 7 • (2 • 5) = 7 • 10 = 70. Действительно, произведение 7 • 2 • 5 означает, что 7 повторяется слагаемым 2 раза и полученная сумма повторяется затем слагаемым еще 5 раз; значит, произведение можно записать так: (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7) + (7 + 7)+ (7 + 7). Но вместо того, чтобы прибавлять сумму 7 + 7, мы может прибавить 7 и затем еще в другой раз 7; значит, написанная нами сумма должна быть такая же, как и 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7, т. е. она должна равняться 7 • 10. В применении к произведению трех сомножителей сочетательное свойство (в соединении с переместительным) можно выразить такими равенствами: аbс = а (bс) = b (ас) = с (ab). в) Пусть требуется умножить 526 на 3, другими словами, требуется умножить сумму 500 + 20 + 6 на 3. Для этого, как мы знаем, можно умножить на 3 отдельно каждое слагаемое и результаты сложить. Подобно этому, чтобы умножить сумму 5 + 3/4 +2 на 8 можно умножить на 8 отдельно 5, 3/4 и 2 и результаты сложить: (5+ 3/4+2) • 8 = 5•8 + 3/4 • 8 + 2 • 8 = 40 + 6 + 16 = 62. Точно так же, если требуется умножить разность на какое-нибудь число, то для этого можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй. Например: (12— 10) • 3 = 12 • 3 — 10 • 3 = 36 — 30 = 6; или (21/2 — 3/4) • 8 = 21/2 • 8— 3/4 • 8 = 20 — 6=14. Таким образом, чтобы умножить сумму (или разность) на какое-нибудь число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно (или уменьшаемое и вычитаемое отдельно) и результаты сложить (или вычесть). Это свойство называется распределительным, так как действие умножения, производимое над суммою или разностью, распределяется на каждое данное число в отдельности. Распределительное свойство умножения можно наглядно объяснить геометрически так.
Возьмем четыре отрезка прямой: один в а единиц длины, другой в b, третий в с и четвертый в m таких же единиц длины. Затем построим прямоугольники: один с основанием, равным a + b + c , a другой с основанием а — b высоту у того и у другого возьмем в m линейных единиц. Площадь первого прямоугольника равна произведению (а+b+с)m, а второго — произведению (а — b)m. Из чертежа непосредственно усматриваем, что первый прямоугольник есть сумма трех прямоугольников с площадями am, bm и cm, а второй прямоугольник составляет разность двух прямоугольников с площадями am и bm; следовательно: (а+b+с)m = am + bm + cm и (а — b)m = am — bm . Так как произведение не меняется от перемены мест сомножителей, то написанные сейчас равенства можно переписать так: m(а+b+с) = m a+ mb + m c и m(а — b) = ma — mb что можио высказать словами таким образом: чтобы yмножить какое-нибудь число на суммy (или на разность), можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно (или на уменьшаемое и вычитаемое отдельно) и результаты сложить (или вычесть). г) Пусть надо умножить 7 на 30, т. е. на произведение 3 • 10. Для этого можно умножить 7 на 3 и полученный результат умножить на 10: 7 • (3 • 10)= 7 • 3 • 10. Подобно этому 7 •( 3/4 • 5/6 ) = 7 • 3/4 • 5/6 и вообще: a(bс) = abc a (bcd) = abcd, и т. п. Значит, чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число сначала на первый сомножитель, потом полученное произведение умножить на второй сомножитель, затем на третий и т. д. д) Пусть требуется умножить произведение 2 • 5 • 8 на 10. Для этого можно умножить на 10 какой-нибудь один сомножитель, оставив другие без изменения: (2 • 5 • 8) • 10 = (2 • 10) • 5 • 8 = 2 • (5 • 10) • 8 = 2 • 5 • (8 • 10); получим во всех случаях одно и то же число 800. Вообще: (аbс...) m = (am) bс... = а (bm) с... =... Значит, чтобы умножить произведение на какое-нибудь число, можно умножить на это число только один сомножитель, оставив все другие без изменения. Деление можно рассматривать как такое действие (обратное умножению), посредством которого по данному произведению и одному из сомножителей отыскивается другой сомножитель. Поэтому правильность деления всегда можно поверять умножением: если, умножив частное на делитель, получим делимое, то деление сделано правильно. Напр., деление: 2/3 : 4/5 = 2 • 5 / 3 • 4 верно, так как 2 • 5 / 3 • 4 • 4/5 = 2 • 5 • 4 / 3 • 4 • 5 , что по сокращении на 4 и на 5 дает делимое 2/3 . Полезно вспомнить, что деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число; так: 2/3 : 4/5 = 10/12 = 5/6 и 2/3 • 5/4 = 10/12 = 5/6 Из свойств деления укажем следующие: а) Чтобы разделить сумму (или разность) на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое) отдельно и результаты сложить (или вычесть). Так, (20 + 8 + 21/2) : 4 = 5 + 2 + 5/8 в чем можно убедиться поверкой (5 + 2 + 5/8) • 4 = 20 + 8 + 5/2. Подобно этому: (30 — 0,6) : 3 = 10 — 0,2. Вообще: (a + b + c ) : m = a/m + b/m + c/m ( a — b ) : m = a/m — b/m в чем легко убедиться поверкой. Свойство это можно назвать распределительным свойством деления. б) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число сначала на первый сомножитель, потом результат разделить на второй сомножитель, затем на третий и т. д. Так: 120 : (2 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4, или 10 : ( 3/4 • 5/6 ) = (10 : 3/4 ) : 5/6 = 40/3 : 5/6 = 240/15 = 80/5 = 16 Вообще: а : (bcd) = [(а : b) : с] : d, в чем можно убедиться поверкою. в) Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число какой-нибудь один сомножитель, оставив все другие без изменения. Так, чтобы разделить произведение 40•12•8 на 4, можно разделить на 4 один из сомножителей: 10 или 12, или 8: (40 • 12 • 8) : 4=10 • 12 • 8 = 40 • 3 • 8 = 40 • 12 • 2. Вo всех (cлучаях получим одно и то же число 960. Вообще: (abc) : m = a/m bc = a b/m c = ab c/m в чем можно убедиться поверкою. г) Укажем еще следующее важное свойство деления: Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится. Возьмем, напр., деление: 8 : 3 = 8/3 и умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим новое частное: 0 (8•5) : (3•5) = 8 • 5/3 • 5 которое по сокращении его на 5 даст прежнее чаcтное 8/3 . Возьмем еще пример на деление дробей: 3/4 : 5/6 = 3 • 6/4 • 5 Умножим делимое и делитель, положим, на 2/7 тогда получим новое частное: (3/4 • 2/7): (5/6 • 2/7) которое, согласно правилам умножения и деления дробей, равно
что по сокращении на 2 и на 7 дает прежнее частное 3 • 6/4 • 5 Вообще, какие бы числа а, b и m ни были, всегда (am): (bm) = а : b, что можно написать и так: am/bm = a/b Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число. 10. Замечание. Свойство, которое мы сейчас указали, обыкновенно в арифметике высказывается так: если увеличим (или уменьшим) делимое и делитель в одинаковое число раз, то частноe не изменится; значит, другими словами, этим выражалось, что частное не изменится, если мы умножим (или разделим) делимое и делитель на одно и то же целое число. Теперь мы видим, что оно не изменяется и от умножения (или деления) делимого и делителя на одно и то же какое угодно число, целое или дробное. 11. Применения свойств действий. Указанными свойствами действий можно пользоваться: 1) Для преобразования алгебраических выражений, напр.: а) а + b + а + 2 + b + а + 8. Пользуясь сочетательным свойством сложения, сгруппируем слагаемые так: (а + а + а) + (b + b) + (2 + 8) Эту сумму короче можно написать так: {а • 3) + (b • 2) + 10, что, пользуясь переместительным свойством умножения, можно переписать так: 3а + 2b + 10. б) a + (b + a). Чтобы к числу а прибавить сумму ( b + а), достаточно к а прибавить b и затем еще а; получим а + b + а. Сгруппируем слагаемые так: (a + a) + b. Эту сумму можно написать короче: а • 2 + b и еще короче: 2а + b. в) а • ( 3хха ). Чтобы умножить число а на произведение 3хха, достаточно а умножить на 3, полученный результат умножить на х и т. д. Получим а3хха. Пользуясь сочетательным свойством умножения, сгруппируем сомножители так: 3(аа) (xх). Это произведение можно короче написать: 3а2х2. г) ( 1/5 ax ) • 10. Чтобы умножить произведение на 10, достаточно умножить на 10 один какой-нибудь сомножитель. Умножим 1/5 на 10; тогда получим 2ах. д) (a + x +1) • 3. Согласно распределительному свойству умножения, получим: (а • 3) + (х • 3) + (1 • 3), что можно написать так: 3a + 3x + 3. е) 9ab/3. Чтобы разделить произведение 9аb на 3, достаточно разделить на 3 один сомножитель 9; разделив, получим 3ab. 2) Для разъяснения некоторых свойств чисел. Пусть, напр., требуется разъяснить следующее свойство трехзначного числа: если к какому-нибудь трехзначному числу припишем справа то же самое трехзначное число, то полученное таким образом шестизначное число делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13. Возьмем, напр., число 756; приписав к нему с правой стороны 756, получим 756 756. Число это делится на 7, на 11 и на 13: 756 750 : 7 = 108 108; 756 756 : 11=68 796; 756 756 : 13 = 58 212. Чтобы объяснить, почему это так, обозначим взятое трехзначное число одною буквой а. Приписать к этому числу с правой стороны такое же число — это все равно, что умножить а на 1000 (т. е. приписать к а три нуля) и затем прибавить к полученному произведению число а. Например: 756 756 = 756 000 + 756 = 756 • 1000 + 756. Таким образом, шестизначное число, полученное указанным путем, должно быть равно сумме а •1000 + a , что очевидно, составляет а • 1001. Чтобы разделить это произведение на какое-нибудь число, можно, как мы знаем, разделить на это число только один сомножитель 1001. Но число 1001 как раз равно произведению 7 • 11 • 13; значит, оно делится и на 7, и на 11, и на 13. Поэтому и все шестизначное число разделится и на 7, и на 11, и на 13. Глава третья. Положительные и отрицательные числа (относительные числа). I. Понятие о величинах, которые можно понимать в двух противоположных смыслах. 12. Задача 1. Термометр в полночь показывал 2 градуса, а в полдень 5 градусов. На сколько градусов изменилась температура от полуночи до полудня? В этой задаче условия выражены недостаточно полно: надо еще указать: 2 градуса тепла или 2 градуса холода показывал термометр в полночь, т. е. вершина ртутного столбика в термометре была в полночь на 2 деления выше или на 2 деления ниже той черты, на которой стоит 0°; подобные же указания должны быть сделаны и относительно температуры в полдень. Если и в полночь, и в полдень термометр указывал тепло, то температура за этот промежуток времени повысилась от 2 до 5 градусов, значит, изменилась на 3 градуса; если же в полночь термометр указывал 2 градуса холода (ниже 0°), а в полдень 5 градусов тепла (выше 0°), то температура повысилась на 2 + 5 т. е. на 7 градусов. Могло случиться и так, что в пoлночь температура была 2° холода и в полдень 5° тоже холода (тогда температура не повысилась, а понизилась на 3 градуса), или так, что в полночь температура была 2° тепла, а в полдень 5° холода (тогда температура понизилась на 7 градусов). В этой задаче речь идет о величине, имеющей направление: число градусов температуры можно отсчитывать вверх от нулевой черты термометра и вниз от нее. Принято температуру выше 0° (тепло) считать положительной и обозначать числом градусов со знаком +, а температуру ниже 0° (холод) считать отрицательной и обозначать числом градусов со знаком — (не будет недоразумения, если первое число брать совсем без знака). Выразим теперь нашу задачу, примерно, так: термометр в полночь показывал —2°, а в полдень + 5°. На сколько градусов изменилась температура от полуночи до полудня? В таком виде задача получает вполне определенный ответ: температура повысилась на 2 + 5, т. е. на 7 градусов. Задача 2. Когда скорый поезд Октябрьской железной дороги (соединяющей Москву с Ленинградом) находился на расстоянии 100 километров от станции Бологое (эта станция лежит приблизительно посредине между Москвой и Ленинградом), тогда пассажирский поезд этой дороги был на расстоянии 50 километров от Бологого. На каком расстоянии находились тогда эти два поезда друг от друга? В таком виде задача эта представляется не вполне определенной: в ней не сказано, находились ли поезда по одну сторону от Бологого, например в сторону по направлению к Ленинграду, или же они были по разным сторонам от Бологого. Если первое, то расстояние между поездами было, очевидно, 100 — 50, т. е. 50 километров, а если второе, то это расстояние было 100 + 50, т.е. 150 километров. Значит, для того, чтобы эта задача была определенною, недостаточно задать величину расстояния поездов от Бологого, но еще нужно указать, в каком направлении эти расстояния надо считать от Бологого. Мы имеем здесь опять пример величины, в которой, кроме ее размера, можно рассматривать еще направление,— это расстояние, считаемое по какой-нибудь линии (напр, по железной дороге) от определенного на ней места (напр, от станции Бологое). Расстояние это можно считать и в одном направлении (напр, к Москве), и в другом противоположном (напр, к Ленинграду). Обыкновенные (арифметические) числа недостаточны для выражения и размера, и направления расстояний. Условимся в подобных случаях поступать так. Назовем какое-нибудь одно из двух направлений Октябрьской дороги (напр, направление от Ленинграда к Москве) положительным, а противоположное направление (от Москвы к Ленинграду)—отрицательным; сообразно этому расстояния, считаемые в положительном направлении, будем называть положительными расстояниями, а расстояния, считаемые в отрицательном направлении, будем называть отрицательными. Первые будем выражать числами со знаком + (или вовсе без знака), а вторые - числами со знаком —. Так, если поезд находится в месте, отстоящем на 100 километров от Бологого по направлению к Москве, то мы будем говорить, что его расстояние от Бологого равно +100 километрам (или просто 100 км); если же поезд находится, положим, на 50 км от Бологого по направлению к Ленинграду, то мы скажем, что его расстояние от Бологого равно —50 километрам. Здесь знаки + и —, конечно, не означают действий сложения и вычитания, а только служат условно для обозначения направлений. Выразим теперь нашу задачу так: когда курьерский (скорый) поезд Октябрьской железной дороги находился от Бологого на расстоянии + 100 км (или просто 100 км), тогда пассажирский поезд этой дороги был от Бологого на расстоянии —50 км. Как велико было тогда расстояние между этими поездами?
Теперь задача выражена вполне точно, и ответ на нее получается определенный (см. чертеж, на котором стрелка указывает положительное направление дороги): поезда находились на расстоянии 100 + 50, т. е. 150 километров. 13. Другие величины, которые можно понимать в двух противоположных смыслах. Кроме величин, указанных в предыдущих задачах, многие другие также имеют направление, т. е. они могут быть рассматриваемы в двух противоположных смыслах, Таковы, например: доход в противоположном смысле будет расход, выигрыш „ „ „ „ проигрыш, прибыль „ „ „ „ убыток, имущество „ „ „ „ долг и т. п. Если доход, выигрыш, прибыль, имущество... условимся считать величинами положительными и выражать их числами со знаком + (или без знака), то расход, проигрыш, убыток, долг... надо считать .величинами того же рода, но отрицательными, и выражать их числами со знаком —; тогда можно говорить, что расход есть отрицательный доход, проигрыш есть отрицательный выигрыш и т. д. При таком соглашении понятны будут, напр., такие словесные выражения: жилищное товарищество получило дохода с квартир: в январе +200 руб. в феврале + 150 руб., в марте —50 руб. (значит, в марте получился убыток 50 руб.); или такие: у старшего брата имущества было на 5000 руб., у среднего на 3000 руб., у младшего на —500 руб. (значит, у младшего брата не было имущества, а был долг в 500 руб.). Должно, однако, заметить, что наряду с указанными величинами существует очень много других, в которых нельзя указать „направления"; напр., нельзя понимать в двух противоположных смыслах такие величины, как объем, площадь и многие другие. 14. Относительные числа. Числа, рассматриваемые в арифметике, служат для выражения таких величин, которых направление не рассматривается (когда, напр., интересуются знать только размер какого-нибудь расстояния, а не направления, по которому его надо считать). Числа же, рассматриваемые в алгебре, служат для выражения размера величин и их направления. Для этого величину, понимаемую в каком-нибудь одном смысле, выражают числом с предшествующим ему знаком +, а ту же величину, понимаемую в противоположном смысле, выражают числом с предшествующим ему знаком —. Число с предшествующим ему знаком + (который, впрочем, может быть и опускаем) называется положительным; число с предшествующим ему знаком — называется отрицательным. Так, +10, + 1/2, + 0,3 положительные числа, а — 8, — 5/7, — 3,25 отрицательные числа. К числам присоединяют еще 0 (нуль), не относя его ни к положительным, ни к отрицательным. Выражения + 0,— 0 и просто 0 считают равносильными. Числа положительные, отрицательные и нуль называются относительными числами в отличие от чисел обыкновенных (или арифметических), которые не имеют перед собой никакого знака. Абсолютною величиною относительного числа называется это число, взятое без знака; так, абсолютная величина числа —10 есть 10, абсолютная величина числа + 5 есть 5. Два относительных числа считаются равными, если у них одинаковы абсолютные величины и знаки. 15. Изображение чисел помощью отрезков прямой. Отрезком прямой (см. чертеж ) называется часть какой-нибудь прямой линии, ограниченная с обеих сторон, напр., с одной стороны точкой А, с другой точкой В.
В каждом отрезке можно различать: во-первых, длину его, во-вторых, направление, которое для данного отрезка может быть двоякое. Напр., во взятом нами отрезке можно различать направление или от точки А к точке B или, наоборот, от В к А. Если мы рассматриваем взятый отрезок в направлении от А к В, то точку А мы будем называть началом отрезка, а точку В - его концом. Такими отрезками мы наглядно можем выражать относительные числа следующим образом. Возьмем какую-нибудь прямую (напр, горизонтальную) и условимся, какое из двух направлений этой прямой считать положительным .
Примем, напр., направление слева направо (указанное стрелкою) за положительное, тогда противоположное направление — справа налево — мы будем считать отрицательным. Далее, примем какую-нибудь длину аb (изображенную на чертеже) за единицу длины. Пусть теперь дано какое-нибудь положительное число, напр. + 5,4. Возьмем на нашей прямой произвольную точку А и отложим вправо от нее 5,4 единиц длины, равных аb. Тогда получим отрезок АВ, длина которого равна 5,4 единицы и направление положительное. Этот отрезок и выразит нам наглядно число + 5,4. Возьмем теперь какое-нибудь отрицательное число, напр. — 4. Чтобы изобразить его наглядно, отложим от той же точки А влево 4 единицы длины. Тогда получим отрезок АС, длина которого равна 4 единицам, а направление отрицательное; значит, этот отрезок выражает число —4. Можно представить себе, что все относительные числа выражены направленными отрезками, отложенными на одной и той же прямой от одной и той же ее точки А, принятой за начало отрезков. Тогда на той части прямой, которая расположена направо от А, изобразится ряд положительных чисел, а на части прямой расположенной влево от А, изобразятся отрицательные числа. Число нуль выражается на этой прямой не отрезком, а одной точкой A. Такая прямая часто называется числовою прямою. Так как направление отрезков, выражающих числа со знаком +, противоположно направлению отрезков, выражающих числа со знаком —, то и самые эти знаки принято называть противоположными знаками. Всякие два числа, как +3 и —3, + 1/2 и — 1/2 и т. п., у которых знаки противоположны, а абсолютные величины одинаковы, называются противоположными числами. Рассмотрим теперь, как производятся различные действия над относительными числами. II. Сложение относительных чисел. 16. Задача. Кооперативное товарищество получило прибыли в январе 300 руб., в феврале 250 руб. и в марте —100 руб. (значит, в марте был убыток 100 руб.). Сколько прибыли получило товарищество за эти три месяца? Искомая прибыль, очевидно, составляет 300 + 250 —100 = 450 руб. Можно сказать, что прибыль есть сумма трех относительных чисел: +300, +250 и —100, разумея при этом, что 100 руб. убытка погашаются 100 руб. прибыли и, следовательно, уменьшают общую прибыль на 100 руб. Подобным образом можно складывать между собой и другие противоположные величины, напр, доход и расход, выигрыш и проигрыш, имущество и долг и т. п. Особенность такового сложения состоит в том, что две противоположные величины, имеющие одинаковую абсолютную величину, при сложении взаимно уничтожаются (дают в сумме нуль). 17. Сложение двух чисел. Пусть требуется сложить два числа с одинаковыми знаками, напр. +3 и +5, или —3 и —5. Это значит, что складываются величины одного и того же „направления": 3 руб. дохода с 5 руб. дохода, 3 руб. расхода с 5 руб. расхода, и т. п. Очевидно, что в первом случае получится 8 руб. дохода, во втором случае 8 руб. расхода. Значит: (+3) + ( + 5) = + 8; (—3) + (—5) = —8. Таким образом, чтобы сложить два числа одинаковых знаков, надо сложить их абсолютные величины и оставить тот же знак. Пусть требуется сложить два числа с разными знаками, папр., (+ 5) и (— 3), или (—5) и (+ 3). Это значит, что складываются величины противоположного смысла: 6 руб. прибыли с 3 руб. убытка, или 5 руб. расхода с 3 руб. дохода, и пр. Очевидно, что в первом случае получится 2 руб. прибыли, а во втором 2 руб. расхода. Значит: ( + 5) + (—3) = +2; (—5) + ( + 3) = —2 , Таким образом, чтобы сложить два числа разных знаков, надо найти разность их абсолютных величин и перед нею поставить знак того числа, у которого абсолютная величина больше. Отбросив знак + перед положительным числом, мы можем написанные сейчас равенства переписать короче: 5 + (—3) = 2; —5 + 3 = —2 Замечания, а) Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Так: ( + 3) + (—3) = 0; (—8) + (+8) = 0. Напр., если я продвинулся вперед на 3 шага, а затем отодвинулся назад также на 3 шага, то в результате я не продвинулся ни вперед, ни назад. б) Прибавить 0 к какому-нибудь числу или прибавить к 0 какое-нибудь число — значим, очевидно, оставить это число без изменения. Так: ( + 3) + 0 = + 3; 0 + ( — 5) = — 5. 18. Другое выражение правил сложения. Два правила сложения, указанные нами, можно заменить двумя другими правилами, очень удобными для применения. а) Прибавить положительное число— значит прибавить его абсолютную величину. Так: ( + 7) + ( + 3) = +10 и ( + 7) + 3 = 7 + 3 = 10; (—7) + (—3) = — 4 и (—7) + 3 = — 7 + 3 = — 4. б) Прибавить отрицательное число— значит отнять его абсолютную величину. Так: ( + 7) + (— 10) = —3 и (+7) — 10 = 7— 10 = — 3; (— 7) + ( — 10) = —17 и (— 7) — 10 = — 7 — 10 = —17. Эти два правила можно сокращенно выразить такими формулами двойных знаков: + ( + a) = + a; + ( — а) = — a. 19. Сложение трех и более чисел. Сначала находят сумму двух первых слагаемых, к ней прибавляют третье слагаемое, и т. д. Пусть, напр., требуется найти сумму: ( + 8) + (— 5) + (— 4) + ( + 3), которую можно короче выразить так: 8 + (— 5) + ( — 4) + 3. Производим сложение в таком порядке: 8 + ( —5) = 3; 3 + ( — 4) = —1; (— l) + 3 = 2. Впрочем, такого порядка нет надобности всегда придерживаться, как это будет видно из свойств суммы, которую мы вскоре укажем. III. Вычитание относительных чисел. 20. Задача. Прибыль фабрики за 2 месяца, январь и февраль, составила а руб. Как велика была прибыль за один февраль, если известно, что за январь фабрика дала b руб. прибыли? Прибыль за два месяца составляет, конечно, сумму прибылей, полученных отдельно за каждый из этих месяцев. Это остается верным и тогда, когда прибыль за какой-нибудь месяц была отрицательная, т. е. когда эта прибыль была на самом деле убытком. Так, если прибыль за январь была+2000 руб., а за февраль —500 руб., то за эти два месяца вместе прибыль составляла сумму (+ 2000) + (— 500) = +1500 руб. Поэтому искомая прибыль за февраль должна быть таким числом (положительным или отрицательным), которое, будучи сложено (по правилам сложения относительных чисел) с прибылью за январь, составит в сумме прибыль за оба месяца. Таким образом, в нашей задаче дана сумма а и одно слагаемое b, а требуется отыскать другое слагаемое. Действие, посредством которого по данной сумме и одному слагаемому находится другое слагаемое, называется вычитанием, безразлично, будут ли даны числа арифметические или относительные; при этом данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое— вычитаемым, а искомое число — разностью (или остатком). Обозначив искомую разность в нашей задаче буквой x, мы можем написать: х = а — b. Из этого следует, что правильность вычитания мы всегда можем поверять сложением: найдя искомую разность, сложим ее с вычитаемым; если в сумме получим уменьшаемое, то вычитание сделано верно. 21. Нахождение разности как одного из двух слагаемых. Найдем разность а —b в следующих частных случаях: а) а =1000, b = 400. Тогда х =1000 — 400 = 600 (поверка: 600 +400 =1000). б) а = 1000, b = 1000; значит, за 2 месяца январь и февраль, получилась такая же прибыль, как и за один январь. Это могло случиться только тогда, когда за февраль не было ни прибыли, ни убытка; другими словами, когда за февраль прибыль была 0 руб. Таким образом: x =1000 — 1000 = 0 (поверка: 1000 + 0 = 1000). в) а =1000, b = 1200; значит, за 2 месяца прибыль была меньше, чем за один январь, и меньше на 200 руб. Это могло случиться только тогда, когда февраль принес не прибыль, а убыток, и притом убыток в 200 руб.; другими словами, когда за февраль прибыль была — 200 руб. Таким образом: x = 1000 — 1200 = — 200 (поверка: (— 200) + 1200 = 1000). В этом случае нам пришлось вычесть большее число (1200) из меньшего (из 1000). Такое вычитание было бы невозможно, если бы мы ограничивались арифметическими числами; для относительных же чисел вычитание всегда возможно, а именно: разность от вычитания большего числа из меньшего равна избытку большего числа над меньшим, взятому со знаком —. Так: 1000 —1200 = —200, потому что ( — 200) +1200 = 1000; 3 — 51/2 = — 21/2, „ „ (— 21/2) + 51/2 = 3; 0 — 8 = —8, „ „ (—8) + 8 = 0; и т. п. г) а = 1000, b = — 200; значит, за два месяца прибыль фабрики била 1000 руб., тогда как за один январь был убыток в 200 руб. Это могло произойти только тогда, когда размер прибыли за февраль превосходил размер январского убытка на 200 руб. Таким образом: x = 1000 — ( — 200) = 1000 + 200 = 1200 (поверка: 1200 + (— 200) = 1000). д) а = — 100, b = 800, т. е. за январь и февраль вместе был убыток в 100 руб., тогда как за один январь была прибыль в 800 руб. Это могло быть, очевидно, только тогда, когда в феврале был убыток, размер которого превосходил размер прибыли за январь на 900 руб. Таким образом: x = — 100 —800 = — 900 (поверка: ( — 900) + 800 == —100). е) а = —100, b = — 150, т. е. за 2 месяца был убыток в 100 руб., а за один январь был убыток в 150 руб. Так как за два месяца убыток оказался меньше, чем за один январь, то, значит, февраль принес прибыль, а именно: прибыль в 50 руб. Таким образом: x = (— 100) — (—150) = 50 (поверка: 50 + ( — 150) = — 100). 22. Правило вычитания. Из рассмотрения всех этих случаев вычитания мы можем вывести следующее правило: чтобы вычесть какое-нибудь число, достаточно к уменьшаемому приложить (по правилам сложения) число, противоположное вычитаемому. Так, мы сейчас видели (в случае г), что 1000 — ( — 200) = 1200 Но то же самое число мы получим, если вместо того, чтобы вычитать —200, к уменьшаемому 1000 приложим число, противоположное вычитаемому, т. е. число +200: 1000 + ( +200) =1200. Точно так же мы видели (в случае е), что (— 1 00) — ( — 150) = 50; но то же самое число мы получим, если к —100 приложим по правилу сложения число +150. ( — 100) + ( + 150) = + 50 = 50. Подобно этому, и во всех других рассмотренных случаях вычитания действие это можно заменить сложением уменьшаемого с числом, противоположным вычитаемому. Так: 1) 1000 — 400 = 600 и 1000 +( — 400) = 600; 2) 1000 — 1000 = 0 и 1000 + ( — 1000 ) = 0 ; 3) 1000 —1200 = —200 и 1000+ (— 1200) = — 200; 4) ( — 100)—800 = — 900 и ( — 100) + ( — 800) = — 900. 23. Формулы двойных знаков. Таким образом, согласно данному правилу, вычитание положительного числа + а можно заменить прибавлением отрицательного числа — а, а вычитание отрицательного числа — а можно заменить прибавлением положительного числа + а; это можно выразить такими формулами двойных знаков: — ( + а) = — а; — (— а) = + а. Эти формулы уподобляются тем формулам двойных знаков, которые были указаны для сложения (§18): + ( + a) = + a; + (— а) = — а; 24. Алгебраическая сумма и разность. Относительные числа дают возможность всякую разность представить в виде суммы, и наоборот, сумму изобразить в виде разности. Напр., разность 7 — 3 может быть написана так: ( + 7) + (—3), или проще: 7 —3; сумма 4 + 2 может быть изображена так: (+ 4) — (— 2), или проще: 4 — (— 2). Подобно этому всякое выражение, представляющее собой ряд последовательных сложений и вычитаний, может быть представлено в виде суммы. Например: 20 — 5 + 3 —7 = 20 + (—5) + 3 + ( —7). Сумма, в которой слагаемые могут быть числами положительными, отрицательными и равными нулю, принято называть алгебраическою суммою, в отличие ее от арифметической суммы, в которой все слагаемые числа обыкновенные (арифметические). Равным образом разность называется алгебраической, если в ней уменьшаемое и вычитаемое числа относительные. IV. Главнейшие свойства сложения и вычитания относительных чисел. 25. Убедимся на примерах, что те свойства сложения и вычитания арифметических чисел, которые мы указали для чисел арифметических (§§ 6, 7), принадлежат также и числам относительным: а) Переместительное свойство: сумма не изменяется от перемещения слагаемых. Например: (—4) + ( + 3) + (—1) + ( + 5) = + 3; ( —4) + (—1) + ( + 5) + ( + 3) = + 3; ( + 5) + (—1) + (— 4) + ( + 3) = + 3, и т. п. Если, напр., торговец, продав четыре предмета, получил прибыли на одном из них 3 руб., на другом 5 руб., на третьем же имел убыток 4 руб. и на четвертом также убыток 1 руб., то для него безразлично, в каком порядке следовали эти продажи: проданы ли были сначала те предметы, на которых получена прибыль, или как-нибудь иначе; при всяком порядке результат будет один и тот ж: после четырех продаж торговец получил прибыли 3 рубля. б) Сочетательное свойство: сумма не изменится, если какие-нибудь слагаемое мы заменим их суммою. Так, при вычислении суммы: (—4) + ( + 3) + (—1) + ( + 5) = + 3, вместо того, чтобы производить сложение в том порядке, в каком написаны слагаемые, мы можем какие-нибудь из них, напр, второе и третье, заменить их суммою, вычислив ее предварительно: (+ 3) + (— 1) = + 2; тогда будем иметь: (— 4) + (+ 2) + ( + 5) = 3, т. е. мы получим ту же сумму, как и прежде. Можно было бы какие-нибудь три слагаемые, напр. 2-е, 3-е и 4-е, заменить их суммою: (+ 3) + (— 1) + (+ 5) = + 7; тогда мы получим: ( —4) + ( + 7) = + 3, т. е. получим ту же сумму +3. в) Чтобы к какому-нибудь числу прибавишь сумму нескольких слагаемых, можно к этому числу прибавить каждое слагаемое отдельно одно за другим. Пусть, напр., требуется к числу 40 прибавить сумму 20 + ( — 5) + ( + 7), что можно выразить так: 40 + [20 + (—5) + (+7)]. Мы можем сначала вычислить прибавляемую сумму: 20 + ( —5) =20 — 5 = 15; 15 + ( + 7)= 15 + 7 = + 22 и затем полученное число + 22 приложить к 40: 40 + ( + 22) = + 62. Но вместо этого мы можем к 40 прибавить сначала первое слагаемое 20, потом второе слагаемое —5 и, наконец, третье слагаемое +7: 40 + 20 = 60; 60 + ( — 5) = 55; 55 + ( + 7 ) -= + 62. Окончательная сумма оказывается та же самая. г) Чтобы от какого-нибудь числа отнять сумму нескольких слагаемых, можно от этого числа отнять каждое слагаемое отдельно одно за другим. Пусть, напр., нам желательно из 20 вычесть сумму 10 + ( — 4) + ( —3), что можно выразить так: 20 — [10 + (—4) + (—3)]. Мы можем сначала вычислить отнимаемую сумму: 10 + ( — 4) = 10 — 4 = 6; 6 + (— 3) = 6— 3 = 3 и затем полученное число отнять от 20: 20 — 3 = 17. Но вместо этого мы можем отнять от 20 сначала первое слагаемое 10, затем второе слагаемое —4 и, наконец, третье слагаемое — 3: 20— 10 = 10; 10 — ( — 4) = 10 + 4 = 14; 14 — ( — 3)= 14+ 3 = 17. Мы получили то же самое число, как и прежде. V. Умножение относительных чисел. 26. Определение. Как известно из арифметики, умножение, на целое, число есть действие, посредством которого множимое повторяется слагаемым столько раз, сколько единиц во множителе, а умножение на дробь есть действие, посредством которого находится эта дробь от множимого. Оба эти определения вполне применимы и к умножению относительных чисел, когда множитель есть положительное число; стоит только условиться положительное число рассматривать как обыкновенное арифметическое. Напр., умножить —5 на + 3 (или просто на 3)—значит повторить — 5 слагаемым 3 раза (получим —15); умножить 0 на + 5 —значит повторить число 0 слагаемым 5 раз (получим 0); умножить —12 на + 3/4 (или просто на 3/4)—значит найти 3/4 от —12 (получим —9). Умножение на отрицательное число мы условимся понимать в таком особом смысле: умножить какое-нибудь множимое на отрицательный множитель — значит умножить множимое на абсолютную величину множителя и полученное произведение взять с противоположным знаком. Так, умножить —3 на —2 — значит умножить — 3 на 2 (получим — 6) и результат взять с противоположным знаком (получим +6). 27. Вывод правила умножения. Рассмотрим следующие четыре случая умножения: а)(+10)(+2); б)( — 10)( +2); в)(+10)(—2); г)( — 10)(—2). В первом случае надо +10 повторить слагаемым 2 раза, от чего получим +20; во втором случае надо —10 повторить слагаемым 2 раза, отчего получим — 20. В третьем и четвертом случаях надо множимое умножить на 2 и результат взять с противоположным знаком. Значит, в третьем случае получим —20, а в четвертом +20. Таким образом: (+10)(+2) = +20; вообще (+a) (+b) = + ab; ( — 10)( +2) = — 20; „ (— a) ( + b) = — ab; (+10)(—2) = — 20; „ ( + a) (—b) = — ab; ( — 10)(—2) = + 20; „ ( — a) (—b) = + ab. Правило. Чтобы найти произведение двух относительных чисел, надо перемножить их абсолютные величины и произведение взять со знаком + в том случае, когда перемножаемые числа имеют одинаковые знаки, и со знаком — в том случае, когда они противоположных знаков. Часть этого правила, касающаяся знаков, носит название правила знаков; его обыкновенно выражают так: при умножении двух чисел одинаковые знаки дают +, а разные дают —. Можно также сказать, что от умножения на положительное число знак множимого не меняется, а при умножении на отрицательное число он изменяется на противоположный. К указанным случаям умножения мы должны еще присоединить тот случай, когда множимое или множитель будет нуль: произведение любою числа на нуль и произведение нуля на любое число принимается равным нулю. Так: (+3)•0 = 0; ( — 5)•0 = 0; 0•( — 4) = 0, и т. п. 28. Чтобы показать полезность данного выше правила умножения относительных чисел, рассмотрим следующую задачу. Задача. В полдень поезд Октябрьской железной дороги (соединяющий Ленинград с Москвою) проследовал через станцию Бологое (расположенную, приблизительно, посредине между Ленинградом и Москвою). Определить место, в котором находился этот поезд в момент времени, отстоящий от полудня (того же дня) на t часов, если известно, что поезд двигался со скоростью v км в каждый час (предполагается для простоты, что поезд двигался безостановочно). Положим, что в этой задаче буквы t и v означают какие-нибудь арифметические числа (пусть, напр., скорость поезда была 40 км в час, а момент времени, в который требуется определить местонахождение поезда, отстоял от полудня на 3 часа). Тогда в ответ на вопрос задачи мы только можем сказать, что в указанный момент времени поезд находился на таком расстоянии от Бологого, какое он может пройти в t часов, т. е. на расстоянии, равном vt км. Но мы не можем сказать, нужно ли это расстояние считать от Бологого по направлению к Моcкве или по направлению к Ленинграду, так как, во-первых, в задаче не указано, в каком направлении двигался поезд: от Ленинграда к Москве или от Москвы к Ленинграду, и, во-вторых, мы не знаем, идет ли речь о моменте времени, который был позже полудня на t часов, или же о том моменте, каторый был раньше полудня на t часов. Таким образом, наша задача, чтобы быть вполне определенной, должна распасться на следующие 4 отдельные задачи: 1) B полдень поезд, двигавшийся от Ленинграда к Москве со скоростью v км в час, проходил через станцию Бологое. Определить местонахождение этого поезда через t часов после полудня.
Тогда ответ будет таков: в указанный момент времени поезд находился на расстоянии vt км от Бологого по направлению к Москве . 2) В полдень поезд, двигавшийся от Москвы к Ленинградy со скоростью v км в час, проследовал через станцию Бологое. Определить местонахождение этого поезда через t часов после полудня.
Ответ будет: на расстоянии vt км от Бологого по направлению к Ленинграду . 3) В полдень поезд, двигавшийся от Ленинграда к Москве со скоростью v км в час, проходил через станцию Бологое. Определить местонахождение этого поезда за t часов до полудня.
Ответ: на расстоянии vt км от Бологого по направлению к Ленинграду . 4) В полдень поезд, двигавшийся от Москвы к Ленинграду со скоростью v км в час, проходил через станцию Бологое. Определить местонахождение этого поезда за t часов до полудня.
Ответ: на расстоянии vt км от Бологого по направлению к Москве . Введение в алгебру отрицательных чисел и правил действий над ними позволяет эти четыре отдельные задачи выразить одною общею задачею и дать для нее одно общее решение. Для этого предварительно условимся, во-первых, какое из двух возможных направлений пути (от Ленинграда к Москве, или наоборот) считать за положительное и какое за отрицательное; и, во-вторых, какой промежуток времени, следующий за полуднем или предшествующий ему, считать положительным и какой отрицательным. Условимся, напр., скорость поезда при движении его от Ленинграда к Москве считать положительной, а скорость при обратном движении — от Москвы к Ленинграду — считать отрицательной; таким образом, мы будем, напр., говорить: поезд двигался со скоростью + 40 км в час, или поезд двигался со скоростью — 35 км в час, разумея при этом, что в первом случае поезд шел от Ленинграда к Москве со скоростью 40 км в час, а во втором случае он шел от Москвы к Ленинграду со скоростью 35 км в час. Далее, условимся считать положительными все те промежутки времени, которые следуют за полуднем; напр., мы будем говорить, что момент времени, в который требуется определить местонахождение поезда, отстоит от полудня на + 4 часа, или момент этот отстоит от полудня на —3,часа, разумея при этом, что в первом случае момент времени надо считать позднее полудня на 4 часа, а во втором случае его надо брать раньше полудня на 3 часа. Допустим теперь, что в задаче нашей буквы t и v будут означать не числа арифметические, как мы прежде предполагали, а числа относительные; напр., t может означать в задаче и + 4, и —3; v может означать и + 40, и —35, и другие относительные числа. Тогда мы можем сказать, что задача наша включает в себе все четыре частные случая, указанные выше, и точным ответом на нее будет следующий общий ответ: в указанный момент времени расстояние поезда от Бологого равно vt км, если под произведением vt относительных чисел условимся разуметь произведение их абсолютных величин, взятое со знаком плюс в том случае, когда оба сомножителя числа положительные или оба числа отрицательные, и со знаком минус в том случае, когда один сомножитель число положительное, а другой отрицательное. При этом условии наш общий ответ (указанный выше) будет годен для всех частных случаев. Действительно: 1) Пусть буквы v и t означают положительные числа, напр, v = + 40 и t = +3. Эти задания означают, что поезд шел по направлению от Ленинграда к Москве со скоростью 40 км в час и что требуется определить местонахождение поезда в момент , времени, бывший 3 часа после полудня. В этом случае искомое место лежит, как мы видели, на 120 км от Бологого по направлению к Москве. Значит, искомое расстояние равно +120 км. Но, согласно нашему условию, и произведение vt в этом случае дает: (+ 40) (+ 3) = + 120. Следовательно, искомое расстояние равно произведению vt км. 2) Пусть v отрицательное число, напр. — 40, a t положительное число, напр. + 3. Эти задания надо понимать в том смысле, что поезд шел от Москвы к Ленинграду, и надо определить его место в момент, бывший 3 часа после полудня. Мы видели, что тогда оно лежит на 120 км от Бологого, по направлению к Ленинграду 3) Пусть v положительное число, напр. + 40, a t отрицательное число, напр. —3. Эти задания означают, что поезд шел от Ленинграда к Москве, и требуется определить его место в момент, бывший за 3 часа до полудня. Это место находится на 120 км от Бологого по направлению к Ленинграду 4) Пусть, наконец, и v, и t означают отрицательные числа, напр. v = — 40, t = — 3. Эти задания означают, что поезд шел по направлению от Москвы к Ленинграду и что момент времени, в который требуется определить местонахождение поезда, был за 3 часа до полудня. В этом случае, как мы видели, искомое место лежит на расстоянии 120 км от Бологого по направлению к Москве 29. Произведение трех и более чисел. Пусть требуется вычислить произведение: (+2) (—1) ( + 3) (—10) (—4) ( —5). Для этого умножим первое число на второе, полученное про. изведение умножим на третье число, вновь полученное произведение умножим на четвертое число и т. д.: ( + 2)(—1) = —2; (—2)( + 3) = — 6; (—6) (—10) = + 60; ( + 60) ( — 4)== — 240; ( — 240) ( — 5) = + 1200. Если бы перемножались только одни положительные числа, то знак окончательного произведения должен быть, конечно, +. Но когда все или некоторые сомножители отрицательные, то произведение окажется со знаком + в том случае, когда число отрицательных сомножителей четное, и со знаком — в том случае, когда число таких сомножителей нечетное. Так: 1 отрицат. сомножитель 2 отрицат. сомножителя ( + 2)(—1)( + 3) = —6; ( + 2)(—l)( + 3)(—10) = + 60; 3 отрицат. сомножителя ( + 2)( — 1) (+3) (—10) ( — 4) = —240, и т. д. Причина этого заключается в том, что каждый раз, как нам приходится умножать на отрицательное число, знак множимого переменяется, а когда приходится умножать на положительное число, он остается без изменения. VI. Деление относительных чисел. 30. Определение. Деление относительных чисел (как и арифметических) есть действие (обратное умножению), посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой. Так, разделить +10 на —2 - значит найти такое число х, чтобы произведение (—2)х или, все равно, произведение х(— 2) равнялось+10; такое число есть, и только одно, именно —5, так как произведение — 5 на —2 равно +10, а произведение какого-нибудь иного числа на —2 не может составить + 10. Из этого определения следует, что правильность деления можно поверять умножением; именно, если, умножив частное на делитель, мы получим делимое, то действие сделано верно. 31. Вывод правила деления. Рассмотрим следующие примеры деления относительных чисел: ( +10): (+2) = + 5, потому что (+ 2) (+ 5)= +10; ( — 10):(—2) = +5, „ „ ( —2)(+5) = —10; ( —10):(+2) = — 5, „ „ (+2)( — 5) = —10; (+10):( —2)= — 5, „ „ ( —2)( —5) = + 10. Из этих примеров выводим правило: чтобы разделить одно число на другое, надо разделить абсолютную величину делимого на абсолютную величину делителя и результат взять со знаком +, когда оба данные числа имеют одинаковые знаки, и со знаком —, когда они имеют разные знаки. Таким образом, правило знаков при делении остается то же самое, что и при умножении. 32. Другое правило деления. Из арифметики мы знаем, что деление равносильно умножению на число, обратное делителю. То же самое мы можем сказать и о делении относительных чисел, если условимся числом, обратным данному относительному числу a, называть такое число, которое получается от деления +1 на а. Действительно: (—10):(+5) = — 2 и (—10) • (+ 1/5)= —10/5 = —2; (— 40):(— 8)= + 5 и (—40) • (—1/8) = + 40/8 = + 5 33. Случаи, когда делимое или делитель равны нулю. а) Пусть требуется разделить 0 на какое-нибудь число, папр. на +10. Это значит, что требуется найти такое число, которое надо умножить на +10, чтобы получить в произведении 0. Такое число есть 0 и только 0, так как 0 • (+10) = 0, а произведение какого-нибудь другого числа, не нуля, на +10 не может, очевидно, равняться 0. Подобным образом находим: 0:(— 2) = 0, потому что ( — 2)•0 = 0; 0 : 3/4 = 0, ., „ 3/4 • 0 = 0, и т. п. Значит, если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, то частное должно быть нуль. б) Положим теперь, что делитель будет 0, а делимое какое: нибудь другое число, напр. ( + 5) :0. Это значит, что требуется найти такое число, которое надо умножить на 0, чтобы получить + 5. Но какое бы число мы ни умножали на 0, мы всегда получим 0, а не число +5 ; значит, частное (+5): 0 не может равняться никакому числу. Подобно этому невозможны деления: ( —5):0; ( + 0,3) : 0; (—7,26): 0, и т. п. Вообще, если делитель равен нулю, а делимое не равно нулю, то деление невозможно. в) Возьмем, наконец, такой случай, когда и делимое равно нулю и делитель равен нулю; 0:0 = ? В этом случае частное может равняться любому числу, так как всякое число, умноженное на нуль, дает в произведении также нуль. VII. Некоторые свойства умножения и деления. 34. Убедимся на примерах, что те свойства умножения и деления, которые мы указали для чисел арифметических (§§ 8 и 9), принадлежат также к числам относительным. а) Переместительное свойство: произведение не изменяется, при изменении порядка сомножителей. Возьмем сначала примеры умножения только двух чисел: (+5) (+2) = +10 и (+2) (+5) = + 10; (— 5)(+ 2) = —10 и (+2) (—5) = —10; (— 2/5 ) ( — 3/4 ) = + 6/20 и ( — 3/4 ) (— 2/5 ) = + 6/20 Свойство это применимо и к тому случаю, когда какой-нибудь сомножитель есть 0, если примем, что произведение равно нулю, когда какой-нибудь сомножитель есть нуль. Тогда 0•(+3) = 0 и (+3)•0 = 0; 0•(—5) = 0 и (—5) • 0 = 0. Возьмем теперь произведение, состоящее более чем из двух сомножителей, например такое: (—2)(—5)(+ 3). Абсолютная величина этого произведения равна 2•5•3, знак же окажется + или —, смотря по тому, четное или нечетное число отрицательных сомножителей (в нашем примере знак будет +). Если мы переставим сомножители, например, так: (+3)(—5)(—2), то получим новое произведение, у которого абсолютная величина равна 3•5•2, а знак будет + или —, смотря по тому, четное или нечетное число будет отрицательных сомножителей. Но 3•5•2 = 2•5•3 (по переместительному свойству умножения арифметических чисел), и число отрицательных сомножителей, очевидно, остается то же самое, что и прежде; значит, у обоих произведений абсолютная величина будет одна и та же и знаки одинаковы; поэтому: (— 2) (—5) (+ 3) = (+ 3) (— 5) (— 2). б) Сочетательное свойство: произведение не изменится, если какие-либо из сомножителей будут заменены их произведением. Так, вместо того, чтобы производить умножение (—5) (+3) (—2) в том порядке, в каком написаны сомножители: (—5) (+3) = — 15; (—15)(—2) = +30, мы можем взять любые два сомножителя, например +3 и —2, и заменить их произведением, т. е. числом —6, и потом умножить на это число третий сомножитель: (— 5) (— 6) = + 30. Таким образом: (— 5) (+3) (— 2) = (— 5) [(+ 3) (— 2)]. в) Чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число на первый сомножитель, полученное произведение умножить на второй сомножитель и т. д. Так, чтобы умножить + 10 на произведение (— 2) (+ 3), мы можем сначала вычислить это произведение (оно равно —6) и затем на него умножить +10 (получим —60); Но можем умножить + 10 сначала на —2 (получим —20) и затем полученное произведение умножить на + 3 (получим — 60). Таким образом: (+10) [(— 2) (+ 3)] =(+ 10 )(— 2) (+ 3). Вообще: а(bс) = abc. г) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное разделить на третий сомножитель, и т. д. Так, чтобы разделить —40 на произведение (+5) (—2), можно сначала найти это произведение (оно равно —10) и затем разделить — 40 на полученное число (получим + 4); но можно разделить — 40 сначала на + 5 (получим —8), а затем полученное число разделить на —2 (получим + 4). Таким образом: (— 40): [(+ 5 ) (—2)] = [(— 40) : (+ 5)] : (—2). Вообще: a : (bc) = (a : b) : c. д) Распределительное свойство: чтобы умножить (или разделить) алгебраическую сумму на какое-нибудь число, можно умножить (или разделить) на это число каждое слагаемое отдельно и результаты сложить. Пусть, например, надо сумму (+ 8) + (— 2) + (— 3) умножить на —10. Вместо того, чтобы сначала вычислить эту сумму (она равна +3) и потом ее умножить на — 10 (получим — 30), мы можем умножить на — 10 каждое слагаемое отдельно и потом полученные числа сложить: (+8)(— 10) = — 80; (— 2)(—10)= + 20; (— 3)(— 10) = + 30; — 80 + 20 + 30 = — 30. Вообще: (а + b + c) m = am + bm + cm и (a + b + c) : m = a/m + b/m + c/m e) Покажем еще, что если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то оке число, то частное не изменится. Как мы видели прежде (§ 9,г ) равенство a/b = am/bm верно для всяких чисел арифметических, как целых, так и дробных. Теперь мы проверим, что это равенство остается верным и тогда, когда все или некоторые буквы а, b и m будут означать числа отрицательные. Возьмем какой-нибудь пример деления: 5 : 0,8 и умножим делимое и делитель, положим, на 31/2 От этого частное не изменится, так как все числа арифметические, и потому мы можем написать равенство:
Пусть теперь в этом равенстве какое-нибудь число сделается отрицательным; пусть, например, вместо 5 будет —5:
После такой перемены равенство все-таки осталось верным, так как теперь оба частные сделались отрицательными, а абсолютные величины их остались прежние. Заменим еще какое-нибудь другое арифметическое число отрицательным; например, вместо 31/2 возьмем —31/2:
Равенство все-таки осталось верным, так как абсолютные величины обоих частных не изменились и оба они отрицательные числа. Так же легко проверить, что равенство остается верным и тогда, когда третье число сделаем отрицательным. Значит, какие бы положительные или отрицательные числа под буквами а, b и m мы ни разумели, равенство a/b = am/bm остается всегда верным. Частное не изменится также и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление равносильно умножению на обратное число. Заметим, однако, что число, на которое мы умножаем (или делим) делимое и делитель, не должно быть нулем. Например, равенство: 2/3 = 2 • 0/3 • 0 неверно, так как правая часть этого равенства равна частному 0:0. а это частное может равняться всякому числу, тогда как 2/3 есть определенное число. Понятие об уравнении. 35. Равенства и их свойства. Два числа или два алгебраических выражения, соединенные между собой знаком =, составляют равенство. Числа эти, или выражения, называются частями равенства; то, что стоит налево от знака =, составляет левую часть, а то, что стоит направо от этого знака, составляет правую часть. Например, в равенстве: a + a + a = a • 3 левая часть есть сумма a + a + a , а правая — произведение a • 3 . Обозначив каждую часть равенства одною буквою, мы можем главнейшие свойства равенства выразить так: а) Если а = b, то и b = а, т. e.: части равенства мы можем менять местами. Если, например, а + b + с = а + ( b + с), то и а + ( b + с) = а + b + с б) Если а = b и b = с, то и а = с, т. е.: если два числа равны каждое одному и тому же третьему числу, то они равны и между собой. Например: 42=16; 16 = 8•2; следовательно, 42 = 8•2. в) Если a = b и m какое угодно число, то а + m = b + m и а — m = b — m, т. е. если к равным числам прибавим или от них вычтем одно и то же число, то равенство не нарушится. Например, если а + b = с, то, отняв от обеих частей по b, получим а = с — b; или если х — 2 = 8, то, прибавив по 2, найдем: х = 8 + 2 = 10. г) Если a = b, то am = bm и a/m = b/m: т. е. если равные числа умножим или разделим на одно и то же число, то равенство не нарушится. Например, если x/2 =3 то, умножив обе части равенства на 2, получим равенство: x = 6; или, если 2x = 14, то, разделив обе части на 2, найдем: x = 7. Полезно обратить внимание на то, что умножение или деление обеих частей равенства на — 1 равносильно перемене знаков перед частями равенства. Так, если обе части равенства. — х = — 5 умножить на —1, то получим: x = 5. 36. Тождество. Два алгебраических выражения называются тождественными, если при всяких численных значениях входящих в них букв они имеют одну и ту же численную величину. Таковы, например, выражения: ab и ba, а + (b + с) и а + b + с. Если в каком-нибудь равенстве обе его части составляют тождественные алгебраические выражения, то такое равенство называется тождеством. Таково, например, равенство: а + b + с = а + (b + с) Тождеством называется также и такое равенство, в которое входят только числа, выраженные цифрами, если обе его части, по выполнении всех действий, указанных в них, дают одно и то же число; например: (40 • 5):8 = 52. 37. Уравнение. Положим, мы желаем решить такую задачу: сколько сторон должно быть в выпуклом многоугольнике, чтобы сумма всех его внутренних углов равнялась 10 прямым углам? Обозначим буквою х неизвестное число сторон выпуклого многоугольника. Тогда сумма внутренних углов его в градусах выразится, как мы знаем из геометрии1), формулой 180° (х — 2). По условию задачи формула эта должна дать 10 прямых углов, т. е. 900°; значит: 180 (x — 2) = 900. Это равенство нельзя назвать тождеством, так как выражения 180 (x — 2) и 900 имеют одинаковую численную величину не при всяком численном значении буквы х. Если обе части равенства, содержащего одну или несколько букв, имеют одинаковую численную величину не при всяких численных значениях этих букв, то оно называется уравнением, а числа, обозначенные этими буквами, называются неизвестными (числами) уравнения. Эти буквы обыкновенно берутся из последних букв латинского алфавита (х, у, ,z,...). Равенство, написанное нами сейчас согласно условию задачи, есть уравнение с одним неизвестным х. Очевидно, что наша задача будет решена, если мы решим уравнение: 180(x —2) = 900, т. е. если мы найдем, какое число надо подставить вместо х, чтобы произведение 18(x — 2) сделалось равным числу 900; другими словами, какое число надо подставить вместо х, чтобы уравнение обратилось в очевидное тождество (900 = 900). Для этого преобразуем уравнение таким образом: разделим обе его части на 180, от чего равенство не нарушится. Тогда в левой части мы получим x — 2 2), а в правой — число 5. Значит: x — 2 = 5. Теперь приложим к обеим частям полученного уравнения по 2, отчего равенство опять-таки не нарушится. Тогда в левой части мы получим х — 2 + 2, т. е. х, а в правой части будет 5 + 2, т. е. 7. Значит: х = 7. И, действительно, при х = 7 левая часть уравнения будет 180( 7 — 2), т. е. 180 • 5, что составит 900; и уравнение обратится в очевидное тождество: 900 = 900. Таким образом, искомый многоугольник должен быть семиугольник 3). Число 7, найденное нами для х, называется корнем уравнения или его решением; о таком числе принято говорить, что оно удовлетворяет уравнению, т. е. обращает его в очевидное тождество. Найти корень уравнения — значит решить уравнение. 38. Примеры решения других уравнений, а) а + 7 = 9. Отняв от обеих частей уравнения по 7, найдем: х = 2. б) 15 = 18 — х. Прибавив к обеим частям по х, получим 15 + x =18. Теперь отнимем по 15, тогда найдем: х = 3. в) 4х = 42 — 2x. Прибавив по 2х, получим 6x = 42. Разделив обе части на 6, найдем: х = 7. г) 3x = 5x — 40; 3x + 40 = 5x; 40 = 5x —3x = 2x; 20 = x; x=20. д) 3x/5 — 7 = 2. Прибавим по 7; получим 3x/5 = 9 Умножим обе части на 5; 3 x = 45; разделим на 3; x = 15. 39. Два основные свойства уравнения. Из приведенных примеров видно, что при решении уравнений можно пользоваться следующими двумя свойствами : а) К обеим частям уравнения можно прибавить, или от них отпять, по одному и тому же числу. б) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число. Позже мы ознакомимся с этими свойствами более подробно. 40. Члены уравнения. Условимся называть членами уравнения те числа (или те выражения), которые стоят в уравнении со знаком +, или со знаком —, или совсем без знака. Так, в уравнении 4х — 9= x + 9 в левой части есть два члена: 4х и—9, и в правой части также два члена: х и +9. Если перед членами не стоит никакого знака, то мы условимся подразумевать перед такими членами знак +. Так, в нашем уравнении в левой части есть член 4х, перед которым можно подразумевать знак + ; равным образом и перед членом х в правой части. Заметим, что надо различать выражения: „члены уравнения" и „части уравнения"; в каждом уравнении есть только 2 части (левая и правая), тогда как членов может быть в каждой части несколько. 41. Перенесение членов уравнения. Полезно теперь же заметить, что при решении уравнений мы можем перенести любой член уравнения из одной части уравнения в другую часть, только переменив перед таким членом знак на противоположный. Так, решая уравнение: 4х — 9 = x + 9 мы прибавили к обеим частям его по 9; от этого в левой части член —9 уничтожился, а в правой части получилось x + 9 + 9. Таким образом член —9 из левой части перешел в правую, но знак его переменился из — на +. После этого перенесения уравнение сделалось таким: 4х = x + 9 + 9 Теперь мы отнимаем от обеих частей уравнения по x от этого в правой части член х уничтожается, а в левой получается 4х — х, и уравнение делается: 4х — x = 9 + 9 Таким образом, член х перешел из правой части в левую, но знак его при этом переменился из подразумеваемого + на — 4). Поступая так, мы всегда можем перенести все члены, содержащие неизвестное, в одну часть уравнения (напр, в левую), а все остальные члены перенести в другую часть уравнения. Так, в нашем примере мы получим: 4х — х = 9 + 9, т. е. 3x = 18 и, следовательно, х = 6. Замечания. 1) Введение в алгебру отрицательных чисел позволяет нам, перенося члены уравнения из одной его части в другую, не стесняться вычитанием большего числа из меньшего. Напр., в уравнении: 4x + 10 = 9x — 15, мы можем член 9x перенести в левую часть, а член + 10 в правую: 4x — 9x = —15 —10, т. е. —5x = — 25. Но если —5x = — 25, то 5x = 25 (если два отрицательных числа равны между собой, то их абсолютные величины должны быть равны), и, следовательно, х = 5. (Можно также сказать: умножим обе части равенства — 5х = — 25 на — 1; тогда получим : 5х = 25) Можем и не освобождаться от знаков —, а прямо разделить обе части уравнения на — 5: —5x/ —5 = —25 / —5 2) Нет надобности переносить все члены, содержащие неизвестное, непременно в левую часть уравнения; их можно перенести и в правую часть, а известные члены в левую; напр., во взятом нами примере мы можем перенести 4x вправо, а —15 влево: 10 + 15 = 9x — 4x ; 25 = 5х; 5 = х; следовательно, х = 5. ________________________ |
, т. е. искомое расстояние равно
— 120
км. Но и произведение vt в этом случае дает: (—40)(+3) = —120; значит, искомое расстояние равно vt км.
, значит, искомое расстояние равно —120 км. Но и произведение vt в этом случае дает:
(+40)
( —3) = —120; следовательно, искомое расстояние равно vt км.
,
т. е. искомое расстояние равно +120 км. Но и произведение vt в этом случае дает: ( — 40) ( — 3) = +120; значит, и теперь можно сказать, что искомое расстояние равно vt км.
