1) Действительно, в случае соизмеримости, мы всегда могли бы получить точный результат измерения в виде обыкновенной дроби. Обратив эту обыкновенную дробь в десятичную, мы выразили бы результат измерения в виде десятичной дроби. Но обыкновенная дробь, обращаясь в бесконечную десятичную, дает всегда периодическую дробь. В случае же несоизмеримости измеряемого отрезка, бесконечная десятичная дробь не может оказаться периодическою, так как, если бы она была такою, то ее можно было бы обратить в обыкновенную, и тогда эта обыкновенная дробь была бы точным результатом намерения, а такого результата не может быть в случае несоизмеримости. Значит, в этом случае бесконечная десятичная дробь должна быть непериодической.

2) Латинское слово ratio означает отношение. Рациональные числа те, которых отношение к 1 выражается точно, иррациональные те, которых отношение к 1 не может быть выражено точно.

3)  Два равных рациональных числа могут иногда выражаться неодинаковыми цифрами, именно тогда, когда одно из них есть периодическая дробь с периодом 9.Так, 0,999...  = 1, или 2,3999... = 2,4.

4) В математике ииогда употребляются буквы греческого алфавита, чаще всего следующие: α (альфа), β (бэта), γ (гамма), δ (дэльта),ε (эпсилон), θ (тэта), π (пи) ρ (ро), φ (фи), ω (омега).

5) Корни любых степеней весьма просто вычисляются, как мы увидим позже, посредством логарифмов.

6) Если эта сумма не превосходит 10, то достаточно написать цифру прoстых единиц множителя под тою цифрою множимого, которая выражает единицы, в 10 раз меньшие единицы данного разряда, и в полученном произведeнии отбросить одну цифру справа.

7) Если бы в частном было 3 цифры, мы к цифре 3 приписали бы 3 нуля (получили бы 3000), если бы в частном было 2 цифры, мы приписали бы к цифре  2 два нуля (подучили бы 200); и т. п.