ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОГРАННИКИ
1. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ПИРАМИДА
Свойства параллельных сечений в пирамиде
74. Теорема. Если пирамида (черт. 83) пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
2) в сечении получается многоугольник (abcde), подобный основанию;
3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
1) Прямые ab и АВ можно рассматривать как линии пересечения двух параллельных плоскостей (основания и секущей) третьей плоскостью ASB; поэтому ab||AB (§ 16). По этой же причине bc||BC, cd||CD, ... и ат||АM; вследствие этого
Sa/aA= Sb/bB = Sc/cC = ... = Sm/mM
2) Из подобия треугольников ASB и aSb, затем BSC и bSc и т. д. выводим:
AB/ab = BS/bs ; BS/bs = BC/bc ,
откуда
AB/ab = BC/bc
Так же
BC/bc = CS/cs ; CS/cs = CD/cd откуда BC/bc= CD/cd .
Так же докажем пропорциональность остальных сторон многоугольников ABCDE и abcde. Так как, сверх того, у этих многоугольников равны соответственные углы (как образованные параллельными и одинаково направленными сторонами), то они подобны.
3) Площади подобиях многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон; поэтому
75. Следствие. У правильной усечённой пирамиды верхнее основание есть правильный многоугольник, подобный нижнему основанию, а боковые грани суть равные и равнобочные трапеции (черт. 83).
Высота любой из этих трапеций называется апофемой правильной усечённой пирамиды.
76. Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.
Пусть (черт. 84) В и В1— площади оснований двух пирамид, H —высота каждой из них, b и b1 — площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h.
Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:
77. Следствие. Если В = В1, то и b = b1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.