ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОГРАННИКИ
II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ
82. Основные допущения в объёмах. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела.
Мы ставим, задачу — найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:
1) Равные тела имеют равные объёмы.
2) Объём какого-нибудь тела (например, каждого параллелепипеда, изображённого на черт. 87), состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объёмов этих частей.
Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.
83. Единица объёма. За единицу объёмов при измерении их берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (м3), кубические сантиметры (см3) и т. д.
84. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипедa равен произведению трёх его измерений.
В таком кратком выражения теорему эту надо понимать так: число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром куба, объём которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и а, b и с —числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc.
При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:
1) Измерения выражаются целыми числами.
Пусть, например, измерения будут (черт. 88): АВ = а, ВС = b и BD = c,
где а, b и с — какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на чертеже: а = 4, b = 2 и с = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображённый на чертеже), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит с таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить с таких слоев. Следовательно, объём этого параллелепипеда равен abc кубических единиц.
2) Измерения выражаются дробными числами. Пусть измерения параллелепипеда будут:
m/n , p/q , r/s
. (некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:
mqs/nqs , pns/nqs , rnq/nqs
Примем 1/nqs долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq, и потому по доказанному (в случае 1) объём параллелепипеда равен произведению (mqs)•(pns)•(rnq), если измерять этот объём новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится (nqs)3; значит, новая кубическая единица составляет 1/(nqs)3 прежней. Поэтому объём параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен:
3) Измерения выражаются иррациональными числами. Пусть у данного параллелепипеда (черт. 89), который для краткости мы , обозначим одной буквой Q, измерения будут:
АВ = α ; AС = β; AD = γ,
где все числа α , β и γ или только некоторые из них иррациональные.
Каждое из чисел α , β и γ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмём приближённые значения этих дробей с п десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим αn , βn , γn, значения с избытком α'n , β'n , γ'n. Отложим на ребре АВ, начиная от точки А, два отрезка AB1 = αn и АВ2 = α'n.
На ребре АС от той же точки А отложим отрезки АС1 = βn и AС2 = β'n и на ребре AD от той же точки—отрезки АD1 = γn и AD2 = γ'n.
При этом мы будем иметь:
AB1 < АВ < АВ2; АС1 < АС < АС2; AD1 < AD < AD2.
Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда; один (обозначим его Q1) с измерениями АВ1, АС1 и AD1 и другой (обозначим его Q2) с измерениями АВ2, АС2 и AD2. Параллелепипед Q1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q.
По доказанному (в случае 2) будем иметь:
объём Q1 = αn βn γn (1)
объём Q2 = α'n β'n γ'n (2)
Оричём объём Q1 < объёма Q2.
Начнём теперь увеличивать число п. Это значит, что мы берём приближённые значения чисел α , β , γ всё с большей и большей степенью точности.
Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q1 и Q2.
При неограниченном возрастании п объём Q1, очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет споим пределом предел произведения (αn βn γn). Объём Q2, очевидно, уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения (α'n β'n γ'n). Но из алгебры известно, что оба произведения
αn βn γn и α'n β'n γ'n при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел αβγ.
Этот предел мы и принимаем за меру объёма параллелепипеда Q: объём Q = αβγ.
Можно доказать, что определённый таким образом объём удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объёма (§ 82). В самом деле, при таком определении объёма равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объёмы. Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьём теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q1 и Q2 (черт. 90).
Тогда будем иметь:
объём Q = АВ•АС•АD,
объём Q1 = АВ• АА1•АD,
объём Q2= А1В1•А1С•А1D1.
Складывая почленно два последних равенства и замечая, что А1В1 = АВ и А1D1=АD, получим:
объём Q1+объём Q2 = АВ• АА1•АD+АВ•А1С•АD = АВ•АD (АА1 + А1С) = АВ•АD•АC, отсюда получаем:
объём Q1+объём Q2 = объёму Q.
Следовательно, и второе условие § 82 тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.
85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и b, а третье измерение (высота)—числом с. Тогда, обозначая объём его в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать:
V = аbс.
Так как произведение аb выражает площадь основания, то можнo сказать, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат рёбрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 103, т. е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3а линейных единиц, то отношение их объёмов будет равно 33, т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.
86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота — её боковому ребру.
Пусть дана наклонная призма ABCDEA1B1C1D1E1 (черт. 92).
Продолжим все её боковые рёбра и боковые грани в одном направлении.
Возьмём на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и проведём через неё перпендикулярное сечение abcde. Затем, отложив аа1 = АА1, проведём через а1 перпендикулярное сечение a1b1c1d1e1. Так как плоскости обоих сечений параллельны, то bb1 = сс1 = dd1 = ее1 = аа1 = АА1 (§17). Вследствие этого многогранник a1d, у которого за основания приняты проведённые нами сечения, есть прямая призма, о которой говорится в теореме.
Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a1D1 равны. Основания их abcde и a1b1c1d1e1 равны как основания призмы a1d; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства А1А = а1а по одному и тому же отрезку прямой А1а, получим: аА = а1А1; подобно этому bВ = b1В1, сС = с1С1 и т. д. Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в многогранник a1D1 так, что основания их совпали; тогда боковые рёбра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник aD совместится с многогранником a1D1; значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a1d добавим многогранник aD, а к наклонной призме A1D добавим многогранник a1D1, равный aD, то получим один и тот же многогранник a1D. Из этого следует, что две призмы A1D и a1d равновелики.
87. Теорема. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда п р я м о у г о л ь н о г о, теперь докажем её для параллелепипеда п р я м о г о, а потом и н а к л о н н о г о.
1). Пусть (черт. 93) АС1 — прямой параллелепипед, т. е. такой, у которого основание ABCD — какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани — прямоугольники.
Возьмём в нём за основание боковую грань АА1В1В; тогда параллелепипед будет
н а к л о н н ы й. Рассматривая его как частный случай наклонной п р и з м ы, мы на основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота ВС. Четырёхугольник MNPQ— прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник MNPQ, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объём равен произведению трёх его измерений, за которые можно принять отрезки МN, МQ и ВС. Таким образом,
объём AС1 = МN • МQ • ВС = МN•(МQ•ВС).
Но произведение МQ•ВС выражает площадь параллелограмма АВСD, поэтому
объём АСХ = (площади АВСD) • МN = (площади АВСD) • ВВ1.
2) Пусть (черт. 94) АС1 — наклонный параллелепипед.
Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение МNРQ (т. е. перпендикулярное к рёбрам АD, ВС, . . .), а высотой — ребро ВС. Но, по доказанному, объём прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,
объём АС1 = (площади МNРQ) • ВС.
Если RS есть высота сечения МNРQ, то площадь МNРQ = МQ• RS, поэтому
объём АС1 = МQ• RS • ВС = (ВС • MQ) • RS.
Произведение ВС • MQ выражает площадь параллелограмма АВСD; следовательно, объём АС1 = (площади АВСОD) • RS.
Остаётся теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение МNРQ, будучи перпендикулярно к рёбрам ВС, В1С1, .. . , должно быть перпендикулярно к граням АВСD, ВВ1С1С, .... проходящим через эти рёбра (§ 43). Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости АВСD, то он должен лежать весь в плоскости МNРQ (§ 44) и, следовательно, должен слиться с прямой RS, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к МQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Следствие. Если V, В и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать:
V = ВН.