ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ

Объём призмы

88. Теорема. Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Сначала докажем эту теорему для треугольной призмы, а потом и для многоугольной.

1) Проведём  (черт. 95) через ребро AA₁ треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ плоскость, параллельную грани ВВ₁С₁С, а через ребро СС₁—плоскость, параллельную грани AA₁B₁B; затем продолжим плоскости обоих оснований призмы до пересечения с проведёнными плоскостями.

Тогда мы получим параллелепипед BD₁, который диагональной плоскостью АА₁С₁С делится на две треугольные призмы (из них одна есть данная). Докажем, что эти призмы равновелики. Для этого проведём перпендикулярное сечение abcd. В сечении получится параллелограмм, который диагональю ас делится на два равных треугольника. Данная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание есть /\ аbc, а высота — ребро АА₁ (§ 86). Другая треугольная призма равновелика такой прямой, у которой основание есть /\ аdс, а высота —ребро АА₁. Но две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами равны (потому что при вложении они совмещаются), значит, призмы АВСА₁В₁С₁ и ADCA₁D₁C₁ равновелики. Из этого следует, что объём данной призмы составляет половину объёма параллелепипеда BD₁; поэтому, обозначив высоту  призмы через H,  получим:

2) Проведём через ребро АА₁ многоугольной призмы (черт. 96) диагональные плоскости АА₁С₁С и AA₁D₁D.

Тогда данная призма рассечётся на несколько треугольных призм. Сумма объёмов этих призм составляет искомый объём. Если обозначим площади их оснований через b₁, b₂, b₃, а общую высоту через Н, то получим:

объём многоугольной призмы = b₁• H +b₂• H + b₃• H = (b₁ + b₂+ b₃ ) • H =
= (площади ABCDE) • H.

Следствие. Если V, В и Н будут числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту призмы, то, по доказанному, можно написать:

V = BH.

89. Принцип Кавальери. Итальянский математик ХVII в. Кавальеpи высказал без доказательства следующее утверждение:

 Если два тела (ограниченные плоскостями или кривыми поверхностями — все равно) могут быть помещены в такое положение, при котором всякая плоскость, параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел одинаковы.

Это предложение может быть строго доказано, но доказательство его выходит за пределы элементарной математики, и потому мы ограничимся проверкой его на отдельных примерах.

Условиям принципа Кавальеpи удовлетворяют, например, две прямые призмы (треугольные или многоугольные—всё равно) с равновеликими основаниями и равными высотами (черт. 97).

Такие призмы, как мы знаем, равновелики. Вместе с тем, если поставим такие призмы основаниями на какую-нибудь плоскость, то всякая плоскость, параллельная основаниям и пересекающая одну из призм, пересечёт и другую, причём в сечениях получатся равновеликие фигуры, так как фигуры эти равны основаниям, а основания равновелики. Значит, принцип Кавальери подтверждается в этом частном случае.

Принцип этот подтверждается также и в планиметрии в применении к площадям, а именно: если две фигуры могут быть помещены в такое положение, что всякая прямая, параллельная какой-нибудь данной прямой, пересекающая обе фигуры, даёт в сечении с ними равные отрезки, то такие фигуры равновелики. Примером могут служить два параллелограмма или два треугольника с равными основаниями и равными высотами (черт. 98).