ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОГРАННИКИ
II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ
Объём пирамиды
90. Лемма. Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.
Доказательство наше будет состоять из трёх частей.
В первой части мы докажем равновеликость не самих пирамид, а вспомогательных тел, составленных из ряда треугольных призм, поставленных друг на друга.
Во второй части мы докажем, что объёмы этих вспомогательных тел при увеличении числа составляющих их призм приближаются к объёмам пирамид как угодно близко.
Наконец, в третьей части мы убедимся, что сами пирамиды должны быть равновелики.
I. Вообразим, что пирамиды поставлены основаниями на некоторую плоскость (как изображено на черт. 99), тогда их вершины будут находиться на одной прямой, параллельной плоскости оснований, и высота пирамид может быть изображена одним и тем же отрезком прямой Н.
Разделим эту высоту на какое-нибудь целое число (n) равных частей (например, на 4, как это указано на чертеже) и через точки деления проведем ряд плоскостей, параллельных плоскости оснований. Плоскости эти, пересекаясь с пирамидами, дают в сечениях ряд треугольников, причем треугольники пирамиды S будут равновелики соответствующим треугольникам пирамиды S1 (§ 77). Поставим внутри каждой пирамиды ряд таких призм, чтобы верхними основаниями у них были треугольники сечений, боковые рёбра были параллельны ребру SА в одной пирамиде и ребру S1A1 в другой, а высота каждой призмы равнялась бы H/n. Таких призм в каждой пирамиде окажется n —1; они образуют собой некоторое ступенчатое тело, объём которого, очевидно, меньше объёма той пирамиды, в которой призмы построены.
Обозначим объёмы призм пирамиды S по порядку, начиная от вершины, буквами
р1, р2 , р3, ... , pn —1, а объёмы призм пирамиды S1 — также по порядку от вершины буквами q1, q2 , q3, ... , qn —1; тогда, принимая во внимание, что у каждой пары соответствующих призм (у р1 и q1, у р2 и q2 и т. д.) основания равновелики и высоты равны, мы можем написать ряд равенств:
р1 = q1 , р2 = q2 , р3 = q3 , ..., pn —1 = qn —1
Сложив все равенства почленно, найдём:
р1 + р2+ р3 + ... + pn —1 = q1 + q2+ q3 + ... + qn —1 (1)
Мы доказали, таким образом, что объёмы построенных нами вспомогательных ступенчатых тел равны между собой (при всяком числе п, на которое мы делим высоту Н).
II. Обозначив объёмы пирамид S и S1 соответственно буквами V и V1 положим, что
V — (р1 + р2+ р3 + ... + pn —1) = x
и
V1 — ( q1 + q2+ q3 + ... + qn —1 ) = y
откуда
р1 + р2+ р3 + ... + pn —1 = V — х
и
q1 + q2+ q3 + ... + qn —1 = V1 — y
Тогда равенство (1) мы можем записать так:
V — х = V1 — y. (2)
Предположим теперь, что число п ранных частей, на которое мы делим высоту Н, неограниченно возрастает; например, предположим, что, вместо того чтобы делить высоту на 4 равные части, мы разделим её на 8 равных частей, потом на 16, на 32 и т. д., и пусть каждый раз мы строим указанным образом ступенчатые тела в обеих пирамидах. Как бы ни возросло число призм, составляющих ступенчатые тела, равенство (1), а следовательно, и равенство (2) остаются в полной силе. При этом объёмы V и V1, конечно, не будут изменяться, тогда как величины х и у, показывающие, на сколько объёмы пирамид превосходят объёмы соответствующих ступенчатых тел, будут, очевидно, всё более и более уменьшаться. Докажем, что величины х и у могут сделаться как угодно малы (другими словами, что они стремятся к нулю). Это достаточно доказать для какой-нибудь одной из двух величин х и у, например для х.
С этой целью построим для пирамиды S (черт. 100) ещё другой ряд призм, который составит тоже ступенчатое тело, но по объёму большее пирамиды.
Призмы эти мы построим так же, как строили внутренние призмы, с той только разницей, что треугольники сечений мы теперь примем не за верхние основания призм, а за нижние. Вследствие этого мы получим теперь ряд призм, которые некоторой своей частью будут выступать из пирамид наружу, и потому они образуют новое ступенчатое тело с объёмом, бoльшим, чем объём пирамиды. Таких призм будет теперь не п — 1, как внутренних призм, а п. Обозначим их объёмы по порядку, начиная от вершины, буквами: р'1, р'2 , р'3, ... , p'n —1, p'n. Рассматривая чертёж, мы легко заметим, что
р'1 = р1, р'2 = р2, р'3 = р3, ... , p'n —1= pn —1
Поэтому
( р'1 + р'2+ р'3 + ... + p'n —1 + p'n) — (р1 + р2+ р3 + ... + pn —1)= p'n
Taк как
р'1 + р'2+ р'3 + ... + p'n —1 + p'n > V,
р1 + р2+ р3 + ... + pn —1 < V,
то
V— ( р1 + р2+ р3 + ... + pn —1 ) < p'n
T. e.
x < p'n
Ho p'n = площади ABC • H/n (если AВС есть основание); поэтому
x < площади ABC • H/n.
При неограниченном возрастании числа n величина H/n, очевидно, может быть сделана как угодно малой (стремится к нулю). Поэтому и произведение: площадь ABC • H/n, в котором множимое не изменяется, а множитель стремится к нулю, тоже стремится к нулю, и так как положительная величина х меньше этого произведения, то она и подавно стремится к нулю.
То же самое рассуждение можно было бы повторить и о величине у.
Мы доказали, таким образом, что при неограниченном увеличении числа призм объёмы вспомогательных ступенчатых тел приближаются к объёмам соответствующих пирамид как угодно близко.
III. Заметив это, возьмём написанное выше равенство (2) и придадим ему такой вид:
V — V1 = x — y. (3)
Докажем теперь, что это равенство возможно только тогда, когда V= V1 и х = у. Действительно, разность V — V1 как всякая разность постоянных величин, должна равняться постоянной величине, разность же x — y, как всякая разность между переменными величинами, стремящимися к нулю, должна или равняться некоторой переменной величине (стремящейся к нулю), или равняться нулю. Так как постоянная величина не может равняться переменной, то из двух возможностей надо оставить только одну: разность х — у = 0; но тогда V= V1 и х = у.
Мы доказали, таким образом, что рассматриваемые пирамиды равновелики.
Необходимость столь сложного доказательства этой теоремы объясняется тем фактом, что два равновеликих тела нельзя так легко преобразовывать одно в другое, как это можно было делать с равновеликими многоугольниками на плоскости. Именно, если даны два равновеликих многогранника, то в общем случае оказывается невозможным разбить один из них на такие части (даже при помощи дополнений), из которых можно было бы составить другой. В частности, это невозможно для двух произвольных треугольных пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами.
Доказанная лемма очень просто выводится также из принципа Кавальери.
Действительно, вообразим, что две пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами поставлены основаниями на какую-нибудь плоскость Р (черт. 101), тогда всякая секущая плоскость Q, параллельная Р, даёт в сечении с пирамидами треугольники равновеликие (§ 77); следовательно, пирамиды эти удовлетворяют условиям принципа Кавальери, и потому объёмы их должны быть одинаковы. Но это доказательство нельзя считать строгим, так как принцип Кавальери нами не был доказан.
91. Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.
Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.
1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамидаSADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, согласно доказанной выше лемме пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять /\ SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как /\ SDE = /\ АВС, то согласно той же лемме пирамиды SDEC и SABC равновелики.
Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,
где Н есть высота пирамиды.
2) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.
Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b1, b2 , b3 и высоту через Н, будем иметь:
объём SABCDE = 1/3 b1• H + 1/3 b2• H + 1/3 b3• H = ( b1 + b2 + b3) • H/3 =
= (площади ABCDE) • H/3.
Следствие. Если V, В и Н означают числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту какой угодно пирамиды, то
V = 1/3 BH
92. Теорема. Объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов трёх пирамид, имеющих высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основаниями: одна — нижнее основание данной пирамиды, другая — верхнее основание, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.
Пусть площади оснований усечённой пирамиды (черт. 104) будут В и b, высота Н и объём V (усечённая пирамида может быть треугольная или многоугольная — всё равно).
Требуется доказать, что
V = 1/3 BH + 1/3 bH + 1/3 H √Bb = 1/3 H (B + b+ √Bb ),
где √Bb есть среднее геометрическое между B и b.
Для доказательства на меньшем основании поместим малую пирамиду, дополняющую данную усеченную пирамиду до полной. Тогда объём усечённой пирамиды V мы можем рассматривать как разность двух объёмов — полной пирамиды и верхней дополнительной.
Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х, мы найдём, что
V = 1/3 B (Н + х) — 1/3 bх = 1/3( BH+ Bх— bх) = 1/3 [ВH+(В — b)х].
Для нахождения высоты х воспользуемся теоремой § 74, согласно которой мы можем написать уравнение:
Для упрощения этого уравнения извлечём из обеих частей его арифметический квадратный корень:
Из этого уравнения (которое можно рассматривать как пропорцию) получим:
х√B = H√b + х√b
откуда
(√B —√b )х = H√b ,
и, следовательно,
Подставив это выражение в формулу, выведенную нами для объёма V, найдём:
Так как В—b = (√B +√b ) (√B —√b ), то по сокращении дроби на разность √B —√b получим:
V = 1/3[BH+ (√B +√b ) H√b = 1/3( BH + H √Bb + Hb) = 1/3 H (B + b + √Bb )
т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.