ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

III. ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ

93. Определение. Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

Из этого определения следует, что в подобных многогранниках:

1) двугранные углы соответственно равны и одинаково расположены, потому что многогранные углы равны;

2) сходственные рёбра пропорциональны, потому что в каждых двух подобных гранях отношение сходственных рёбер одно и то же и в каждом многограннике соседние грани имеют по общему ребру.

Возможность существования подобных многогранников доказывается следующей теоремой

94. Теорема. Если в пирамиде проведём (черт. 105) секущую плоскость (A₁B₁C₁D₁E₁) параллельно основанию, то отсечём от неё другую пирамиду (SA₁B₁C₁D₁E₁), подобную данной.

Так как А₁В₁ || АВ, В₁С₁ || ВС и т. д., то боковые грани двух пирамид подобны; основания их также подобны (§ 74). Остаётся доказать равенство многогранных углов. Угол S у обеих пирамид общий; трехгранные углы А₁, B₁, С₁, ... равны соответственно углам А, В, С, потому что у каждой пары этих углов имеется по одному и тому же двугранному углу, расположенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами; так, у углов А и А₁ один и тот же двугранный угол (с ребром AS) лежит между равными плоскими углами: SA₁E₁ = SAE и SA₁B₁ = SAB.

95. Теорема. Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных рёбер.

Пусть P₁, Р₂, Р₃, ..., Р_n означают площади отдельных граней одного из подобных многогранников, a р₁, р₂, р₃, ...,р_n — площади сходственных граней другого; положим ещё, что L и l будут длины двух каких-нибудь сходственных рёбер. Тогда вследствие подобия сходственных граней и пропорциональности всех сходственных рёбер будем иметь:

откуда по свойству ряда равных отношений получим:

96. Теорема. Объёмы подобных многогранников относятся, как кубы сходственных рёбер.

Ограничимся доказательством этой теоремы только для подобных пирамид. Пусть (черт. 106) пирамиды SABCDE и S₁A₁B₁C₁D₁E₁ подобны.

Вложим вторую пирамиду в первую так, чтобы у них совпали равные многогранные углы S и S₁

Тогда основание A₁B₁C₁D₁E₁ займёт некоторое положение abcde, причём стороны ab, bc, ... будут соответственно параллельны сторонам АВ, ВС, ... (вследствие того, что соответствующие плоские углы трёхгранных углов А и А₁, В и B₁ и т. д. равны). Поэтому плоскость abcde параллельна ABCDE. Пусть SO и So—высоты двух пирамид. Тогда объём SABCDE= (площади ABCDE) • ¹/₃ SO; объём Sabcde — (площади abcde) •  ¹/₃ So. Следовательно,