ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

УПРАЖНЕНИЯ

1. Ребро данного куба равно а. Найти ребро другого куба, объём которого вдвое более объёма данного куба.

Замечание. Эта задача об удвоении куба, известная с древних времён, легко решается вычислением (именно: х = ³√2а³    = а ³√2  = а •1,25992. .) но построением (с помощью циркуля и линейки) она решена быть не может, так как формула для неизвестного содержит радикал третьей степени из числа, не являющегося кубом рационального числа.

2. Вычислить поверхность и объём прямой призмы, у которой основание - правильный треугольник, вписанный в круг радиуса r = 2 м, а высота равна стороне правильного шестиугольника, описанного около того же круга.

3. Определить поверхность и объём правильной восьмиугольной призмы, у которой высота h = 6 м, а сторона основания а = 8 см.

4. Определить боковую поверхность и объём правильной шестиугольной пирамиды, у которой высота равна 1 м, а апофема составляет с высотой угол в 30°.

5. Вычислить объём треугольной пирамиды, у которой каждое боковое резро равно l, а стороны основания суть а, b и с.

6. Дан трёхгранный угол SABC, у которого все три плоских угла прямые. На его рёбрах отложены длины: SA= a; SB= b и SC = c. Через точки А, В и С проведена плоскость. Определить объём пирамиды SABC.

7. Высота пирамиды равна h, а основание —правильный шестиугольник со стороной а. На каком расстоянии х от вершины пирамиды следует провести плоскость, параллельную основанию, чтобы объём образовавшейся усечённой пирамиды равнялся V?

8. Определить объём правильного тетраэдра с ребром а.

9. Определить объём октаэдра с ребром а.

10. Усечённая пирамида, объём которой V = 1465 см³, имеет основаниями правильные шестиугольники со сторонами: а = 23 см и b=17 см Вычислить высоту этой пирамиды.

11. Объём V усечённой пирамиды равен 10,5 м³, высота h = √3 м и сторона а правильного шестиугольника, служащего нижним основанием, равна 2 м. Вычислить сторону правильного шестиугольника, служащего верхним основанием.

12. На каком расстоянии от вершины S пирамиды SABC надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы отношение объёмов частей, на которые рассекается этой плоскостью пирамида, равнялось т?

13. Пирамида с высотой h разделена плоскостями, параллельными основанию, на три части, причём объёмы этих частей находятся в отношении т : п : р. Определить расстояние этих плоскостей до вершины пирамиды.

14. Сумма объёмов двух подобных многогранников равна V, а отношение сходственных рёбер равно т : п. Определить их объёмы.

15. Разделить усечённую пирамиду плоскостью, параллельной основаниям В и b, на две части, чтобы объёмы находились в отношении т : п.

16. Найти центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из плоскости и пересекающей её прямой не перпендикулярной к этой плоскости.

Ответ: центр симметрии—точка пересечения прямой с плоскостью: плоскость симметрии —плоскость, перпендикулярная данной, проходящая через данную прямую; осью симметрии служит прямая, лежащая в данной плоскости и перпендикулярная к данной прямой.

17. Найти центр, оси и плоскости симметрии фигуры, состоящей из двух пересекающихся прямых.

Ответ: фигура имеет две плоскости симметрии и три оси симметрии (указать какие).