ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 2  Уравнения

В предыдущем параграфе все равенства, содержащие букву, мы разбили на два класса. К одному классу были отнесены тождества, то есть такие равенства, обе части которых принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях буквы. Примером таких равенств могут служить равенства:

К другому классу мы отнесли все те равенства, обе части которых принимают разные числовые значения хотя бы при одном допустимом значении буквы. К ним относятся, например, равенства:

а + 4 = 5,             a² + 1 = — 3.

Однако к изучению равенств можно подойти и по-другому. Практика часто ставит перед, нами задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы (или нескольких букв) обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины.

Так, если равенство ,

а + 4 = 5               (1)

рассматривать как уравнение относительно величины а, то легко сообразить, что обе его части принимают одинаковые числовые значения только при а = 1. Действительно, если а = 1, то а + 4 = 5; если же а =/=1, то а + 4 =/= 5. Число. 1 называется корнем уравнения (1).

Вообще, корнем уравнения относительно одной неизвестной величины  называется  каждое  числовое  значение  этой  величины, при котором обе части уравнения принимают одинаковые числовые значения.

То же самое определение иначе формулируют следующим образом: корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется такое значение этой величины, при котором уравнение обращается в числовое равенство (или которое удовлетворяет данному уравнению).

Выше мы привели уравнение (а + 4 = 5), которое имеет лишь один корень. Существуют уравнения, которые имеют более одного корня. Например, уравнение a² = 1 имеет два корня: 1 и — 1; уравнение а + 2 = 2 + а имеет бесконечно много корней: каждое число является его корнем. (В этом случае уравнение является тождеством.) Наконец, можно указать и такие уравнения, которые совсем не имеют корней. Примером может служить хотя бы уравнение  a² + 1 = — 3.

Решить уравнение — это значит:

1)  выяснить, имеет ли оно корни, и
2)  если имеет, то найти каждый из них.

Отметим (хотя это и несущественно), что в равенствах, рассматриваемых как уравнения, неизвестные величины обычно обозначаются не начальными буквами латинского алфавита (а, b, с, . . .), а конечными буквами (х, у, z). Например, вместо а + 4 = 5 пишут x + 4 = 5; вместо a² + 1 = — 3 пишут x² + 1 = — 3 и т. д.

Два уравнения относительно одной и той же неизвестной называются эквивалентными (или равносильными), если каждый корень первого уравнения является вместе с тем и корнем второго уравнения, а каждый корень второго уравнения является вместе с тем и корнем первого уравнения.

Эквивалентными будут, например, уравнения  х + 4 = 5  и  х — 1 = 0, каждое из которых имеет единстенный корень 1. Эквивалентными являются и уравнения  x²  =  4  и 2x²  =  8. Каждое из них имеет два корня: 2 и — 2.

Уравнения, не имеющие корней, считаются также эквивалентными (например,   x²  = — 1 и x²  + 1 = — 3).

Для решения уравнений оказываются важными следующие свойства эквивалентных уравнений, которые мы напоминаем учащимся без доказательства:

1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, эквивалентное данному.

2. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, эквивалентное данному.

Например, в уравнении

2х — 1 = 5 — х.

— 1 можно перенести из левой части в   правую,   а  — х,   наоборот, из правой части в левую. В результате получим

2х + х = 5 + 1,

или

3х = 6.

Очевидно,  что единственным корнем этого (а следовательно, и исходного) уравнения служит число 2.

Упражнения

13. Эквивалентны ли уравнения:

а)  25x² = 0 и 5x = 0;                   г) x² = — 3 и  x — 1 = 3;

б)  9x² = 25 и 3x = 5;                  д) x² + 1 = 0 и x² + 2 = 0?

в)   (2x — 1)² = 1 и 2x — 1 = 1;

14*. Сколько корней имеет следующее уравнение относительно неизвестной величины х:

(х — 1)² + (х — а)² = 0,

где а — некоторое заданное число?

ОТВЕТЫ

13. а) Да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да. 14. Если а = 1, то один: х=1;   если   а =/= 1, то ни  одного.