ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 4 Линейные уравнения
Уравнение называется линейным, если левая и правая части его представляют собой линейные функции Относительно неизвестной величины.
К таким уравнениям относится, например, любое из уравнений:
2х — 1 = 3х — 5; 4х = 6 — 7х; 8х — 9 = 0.
Общий вид линейного уравнения таков:
ах + b = сх + d, (1)
где а, b, с и d — заданные числа, ах — неизвестная величина.
Если в уравнении (1) коэффициенты а и с отличны друг от друга, то уравнение называется также уравнением 1-й степени. Так, каждое из приведенных выше линейных уравнений является вместе с тем и уравнением 1-й степени. Уравнение 0 • х — 1 (это тоже уравнение!) является линейным, но не является уравнением 1-й степени. Очевидно, что каждое уравнение 1-й степени можно назвать и линейным уравнением. Однако не каждое линейное уравнение будет уравнением 1-й степени.
Как же решаются линейные уравнения?
Перенося сх из правой части уравнения (1) в левую, а b из левой части в правую, получим эквивалентное уравнение (а — с) х = d — b. Таким образом, всякое линейное уравнение эквивалентно уравнению вида
тх = п, (2)
где т и п — некоторые заданные числа, а х — неизвестная величина. Если т =/= 0, то уравнение (2) имеет, очевидно, один корень
x = n/m
Если т = 0, а п =/= 0, то уравнение (2) обращается в
0 • x = п.
Такое равенство не может выполняться ни при каких значениях х. Следовательно, в этом случае уравнение (2) не имеет корней.
Наконец, при т = n = 0 уравнение (2) принимает вид 0 • х =0. Это равенство верно при любых значениях х. Поэтому в данном случае уравнение (2) имеет бесконечное множество корней: любое число является его корнем.
Примеры.
1) Решить относительно х уравнение
ах — 1 = х + 2.
Перенося х в левую, а — 1 в правую часть и приводя подобные члены, получаем
(а — 1) х = 3.
Если а =/= 1, то уравнение имеет единственный корень х = 3/a — 1
Если же а = 1, то уравнение принимает вид 0 • х = 3. Такое уравнение не имеет корней.
Ответ. При а =/= 1 данное уравнение имеет единственный корень х = 3/a — 1, а при а = 1 — корней не имеет.
2) Решить относительно х уравнение
а — х = 1 — а2х.
Перенося а2х в левую, а а в правую часть и приводя подобные члены, получаем
(а2 — 1) х = 1 — а.
Если а2 — 1 =/= 0, то есть а =/= 1 и а =/= — 1, то
Если а = 1, то рассматриваемое уравнение сводится к такому:
0 • х = 0.
В этом случае любое число является его корнем. Наконец, при а = —1 получаем
0 • х = 2.
Такое равенство не выполняется ни при каких значениях х.
Ответ. Если а =/=1 и а =/= — 1, то данное уравнение имеет единственный корень х = 1/a + 1; при а = 1 его корнем является любое число, а при а = — 1 уравнение вовсе не имеет корней.
Упражнения
Данные уравнения (№ 26—35) решить относительно х:
26. 3х + 1 = а. 31. а + х = а2х — 1.
27. 5 + х = ах. 32. ах — b = 1 + х.
28. 4 = ах. 33. х = b — а2х.
29. х = а2х. 34. ах — b2 = 7.
30. ах — а2 = 4 — 2х. 35. 3 — а2х = х — b.
36. Может ли уравнение тх = п иметь:
а) ровно один корень; б) ровно два различных корня; в) ровно 1 000 000 различных корней; г) бесконечно много различных корней?
37. Может ли уравнение ах = 1 + b2 иметь бесконечно много различных корней?
38. Может ли уравнение (а — 1) х = а2 — 3а + 2 не иметь корней?
39. Отцу 45 лет, а его. сыну 15. Через сколько лет отец будет старше сына: а) в два раза; б) в четыре раза?
Как можно истолковать отрицательный корень уравнения, полученный при решении задачи 39 б?
40. Из пунктов А и В отправляются навстречу друг другу одновременно два пешехода. Первый идет со скоростью v1 км/ч, а второй — со скоростью v2 км/ч ( v1=/= v2). Спустя некоторое время они одновременно изменяют свои скорости: первый пешеход идет со скоростью v2 км/ч, а второй— со скоростью v1 км/ч. Встреча пешеходов происходит через час после того, как они изменили свои скорости, в пункте, равноудаленном от А и В. Какое время находились пешеходы в пути?
41. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в р% и q% (p =/= q). Сколько нужно взять лома того и другого сорта, чтобы получить 100 тонн стали с содержанием никеля в r%?
ОТВЕТЫ
|