ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 4 Линейные уравнения

Уравнение называется линейным, если левая и правая части его представляют собой линейные функции Относительно неизвестной величины.

К таким уравнениям относится, например, любое из уравнений:

2х — 1 = 3х — 5;     4х = 6 — 7х;     8х — 9 = 0.

Общий вид линейного уравнения таков:

ах + b = сх + d,                                 (1)

где а, b, с и d — заданные числа, ах — неизвестная величина.

Если в уравнении (1) коэффициенты а и с отличны друг от друга, то уравнение называется также уравнением 1-й степени. Так, каждое из приведенных выше линейных уравнений является вместе с тем и уравнением 1-й степени. Уравнение 0 • х — 1 (это тоже уравнение!) является линейным, но не является уравнением 1-й степени. Очевидно, что каждое уравнение 1-й степени можно назвать и линейным уравнением. Однако не каждое линейное уравнение будет уравнением 1-й степени.

Как же решаются линейные уравнения?

Перенося сх из правой части уравнения (1) в левую, а b из левой части в правую, получим эквивалентное уравнение (а — с) х = d — b. Таким образом, всякое линейное уравнение эквивалентно  уравнению вида

тх = п,                  (2)

где т и п — некоторые заданные числа, а  х  — неизвестная величина. Если т =/= 0, то уравнение (2) имеет, очевидно, один корень

x = n/m

Если т = 0, а  п =/= 0, то уравнение (2) обращается в

 0 •  x = п.

Такое равенство не может выполняться ни при каких значениях х. Следовательно, в этом случае   уравнение   (2)  не   имеет   корней.

Наконец, при т = n = 0 уравнение (2) принимает вид 0 • х =0. Это равенство верно при любых  значениях х.   Поэтому   в   данном случае уравнение (2) имеет бесконечное множество корней: любое число является его корнем.

Примеры.

1)  Решить относительно х уравнение

ах — 1 = х + 2.

Перенося х в левую, а — 1 в правую часть и приводя подобные члены, получаем

(а — 1) х = 3.

Если а =/= 1, то уравнение имеет единственный корень х = 3/a — 1

Если же а = 1, то уравнение принимает вид 0 • х = 3. Такое уравнение не имеет корней.

Ответ.    При  а =/= 1  данное уравнение имеет единственный корень х = 3/a — 1, а при а = 1 — корней не имеет.

2)   Решить относительно х уравнение

а — х = 1 — а2х.

Перенося а2х в левую, а а в правую часть и приводя подобные члены, получаем

(а2 — 1) х = 1 — а.

Если а2 — 1 =/= 0, то есть а =/= 1  и  а =/= — 1, то

Если а = 1, то рассматриваемое уравнение сводится к такому:

0 • х = 0.

В этом случае любое число является его корнем. Наконец, при а = —1   получаем

0 • х = 2.

Такое равенство не выполняется ни при каких значениях х.

Ответ.   Если а =/=1 и а =/= — 1, то данное уравнение имеет единственный корень    х = 1/a + 1;   при а = 1 его корнем является любое число, а при а = — 1 уравнение вовсе не имеет корней.

Упражнения

Данные уравнения (№ 26—35) решить относительно х:

26. 3х + 1 = а.                          31. а + х = а2х — 1.

27. 5 + х = ах.                          32. ахb = 1 + х.

28. 4 = ах.                                33. х = b — а2х.

29. х = а2х.                              34. ахb2 = 7.

30. аха2 = 4 — 2х.            35. 3 — а2х = х — b.

36.  Может ли уравнение тх = п иметь:

а)  ровно один корень;
б)  ровно два различных корня;
в)  ровно 1 000 000 различных корней;
г)  бесконечно много различных корней?

37.  Может ли уравнение ах = 1 + b2 иметь бесконечно много различных корней?

38.  Может ли  уравнение  (а — 1) х = а2 — 3а + 2  не  иметь корней?

39.    Отцу 45   лет, а   его. сыну 15.   Через   сколько лет отец будет старше сына:
а)  в два раза;
б)  в четыре раза?

Как можно истолковать отрицательный корень уравнения, полученный при решении задачи 39 б?

40.  Из пунктов А  и  В отправляются навстречу друг другу одновременно два пешехода.  Первый идет со скоростью v1 км/ч, а второй — со скоростью v2 км/ч ( v1=/= v2). Спустя некоторое время они одновременно изменяют свои скорости: первый пешеход идет со скоростью v2  км/ч,  а второй— со скоростью v1 км/ч. Встреча пешеходов происходит через час после того,  как они изменили свои скорости, в пункте, равноудаленном от А и В. Какое время находились пешеходы в пути?

41.   Имеется  лом  стали  двух  сортов  с  содержанием  никеля в р% и q% (p =/= q). Сколько нужно взять лома того и другого сорта, чтобы получить 100 тонн стали с содержанием никеля в r%?

ОТВЕТЫ

Используются технологии uCoz