ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 6 Уравнения, сводящиеся к линейным

К решению линейных уравнений сводится решение и некоторых других уравнений.

Поясним это на примере уравнения

где т и п — заданные числа, а х — неизвестная величина. Это уравнение нельзя назвать линейным, поскольку его левая часть не является линейной функцией относительно х. Но такое уравнение легко сводится к линейному. Прежде всего заметим, что  п=/=0, иначе правая часть данного уравнения не имела бы смысла.

Теперь воспользуемся свойством пропорций:  если   ^a/_b = ^c/_d, то ad = bc. Применяя это свойство пропорций к равенству (1), получаем

(т + х) п = (п + х) т,

откуда

тп + пх = пт + тх,

или

(п — т) х = 0.                (2)

Итак, исходя из нелинейного уравнения (1), мы пришли к линейному уравнению (2). Из него получаем: если т =/= п, то х = 0; если же т = п, то х — любое число.

Не будем торопиться с ответом. Переход от уравнения (1) к уравнению (2) фактически свелся к тому, что обе части уравнения (1) мы умножили на выражение п (п + х). Но в таком случае уравнение (2) может оказаться и неэквивалентным уравнению (1). Очевидно, что потерять корней при переходе от (1) к (2) мы не могли (докажите это!). Но как знать, может быть, мы получили посторонние корни? Вот почему теперь необходимо сделать проверку полученных корней.

Сначала проверим корень х = 0, который получен из уравнения (2) в предположении, что т =/= п.  Если в   уравнении (1) положить х = 0, то получим ^m/_n = ^m/_n.   Следовательно, при т =/= п  и п =/= 0 x = 0 — действительно корень уравнения (1). Теперь проверим, будет ли любое число при т = п =/= 0 корнем уравнения (1). При т = п это уравнение принимает вид

Любое число, кроме — п, удовлетворяет уравнению (3) и, следовательно, является его корнем. Но х = — п нельзя считать корнем этого уравнения, поскольку при х = — п левая часть равенства (3) не определена. Таким образом, при т = п =/= 0 корнем уравнения (1) является не любое число, как это было для уравнения (2), а лишь любое число, отличное от — п.

Теперь можно дать ответ: если п =/= 0 и т =/= п, то уравнение (1) имеет единственный корень х = 0; если же т = п =/= 0, то корнем его является любое число, кроме — п.

Упражнения

Данные уравнения (№ 50—58) решить относительно х, считая а, b, т и п заданными:

59. Уравнение

решить:

а) относительно а; б) относительно b; в) относительно х.

ОТВЕТЫ