ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I
§ 11 Почленное
сложение и вычитание неравенств
Про два неравенства, имеющие одинаковые знаки неравенства (оба знак > или оба знак < ), говорят, что они одинакового смысла. Например, неравенства а > b и 3 > 2 — одинакового смысла, так как оба они имеют один и тот же знак > ; неравенства а < b и, а < с также одинакового смысла, поскольку имеют один и тот же знак <.
Если одно из неравенств имеет знак >, а другое знак <, то такие неравенства называются неравенствами противоположного смысла. Например, 16 > 0 и 5 < а — неравенства противоположного смысла.
Теорема 1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.
Доказательство. Пусть а > b и с > d. Докажем, что а + с > b + d.
Так как а > b и с > d, то числа (а — b) и (с — d) положительны. Сумма двух положительных чисел также положительна: (а — b) + (с — d) > 0.
Но (а — b) + (с — d) = (а + с) — (b + d).
Поэтому число (а + с) — (b + d) положительно. А это и означает, что а + с > b + d.
Случай, когда складываются неравенства а < b и с < d, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.
Примеры:
Теорема 2. Два неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого мы вычитаем.
Например:
Доказательство. Пусть а > b и с < d. Покажем, что а — c > b — d.
Почленное умножение неравенства c < d на — 1 дает — с > — d. Сложив это неравенство с данным неравенством а > b, получим а — c > b — d.
Случай, когда а < b и с > d, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.
Замечание. Неравенства одинакового смысла почленно вычитать, вообще говоря, нельзя. Например, если бы мы из неравенства 2 > 0 вычли почленно неравенство 0 > — 5, то пришли бы к противоречию: 2 больше 5.
Упражнения
Доказать неравенства:
87. √5 + √10 > 5. 90. √37 — √14 > 6 — √15
88. √7 + √15 < 7. 91. √101 — √35 > 4.
89. √21 — √5 >√20 — √6 92. — 16 < √17 — √390
|