ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА  I

§ 11 Почленное сложение и вычитание неравенств

Про два неравенства, имеющие одинаковые знаки неравенства (оба знак > или оба знак < ), говорят, что они одинакового смысла. Например, неравенства   а > b и 3 > 2 — одинакового смысла, так как оба они имеют один и тот же знак > ; неравенства а < b и, а < с также одинакового смысла, поскольку имеют один и тот же знак <.

Если одно из неравенств  имеет знак >, а другое знак <, то такие неравенства называются неравенствами противоположного смысла. Например, 16 > 0 и 5 < а — неравенства противоположного смысла.

Теорема 1. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать.

Доказательство. Пусть а > b и с > d. Докажем, что а + с > b + d.

Так как а > b и с > d, то числа (а — b) и (с — d) положительны. Сумма двух положительных чисел также положительна: (а — b) + (с — d) > 0.  

Но (а — b) +  (с — d) = (а + с) — (b + d).

Поэтому число (а + с) — (b + d) положительно. А это и означает, что а + с > b + d.

Случай, когда складываются неравенства а < b и с < d, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

Примеры:

Теорема 2. Два неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства из которого мы вычитаем.

Например:

Доказательство. Пусть а > b и с < d. Покажем, что а — c > b — d.

Почленное умножение неравенства c < d на — 1 дает    — с > — d. Сложив это неравенство с данным неравенством а > b, получим а — c > b — d.

Случай, когда а <  b и с > d, предлагаем учащимся рассмотреть самостоятельно.

Замечание. Неравенства одинакового смысла почленно вычитать, вообще говоря, нельзя. Например, если бы мы из неравенства 2 > 0 вычли почленно неравенство 0 > — 5, то пришли бы к противоречию: 2 больше 5.

Упражнения

Доказать неравенства:

87. √5  + √10  > 5.                      90. √37  — √14 > 6 — √15

88. √7  + √15 < 7.                       91. √101 — √35  > 4.

89. √21  — √5  >√20 — √6       92.   — 16 < √17  — √390

 

Используются технологии uCoz