ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 128. Монотонные последовательности

Если каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего, то последовательность называется монотонно возрастающей.

Другими словами, числовая последовательность  a₁, a₂, a₃, ...  называется монотонно возрастающей, если для любого п

a_n+1 > a_n

Если при любом n   a_n+1 > a_n  ,  то последовательность {a_n} называется монотонно неубывающей. Например, последовательность 1, 1, 2, 2, 3 , 3,... не является монотонно возрастающей,  но является монотонно неубывающей.

Примером монотонно возрастающей  числовой последовательности является натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4 ... . Другим примером монотонно возрастающей числовой последовательности  может служить последовательность

p₄,  p₈,   p₁₆,  p₃₂,  ...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., в п и с а н н ы х   в одну и ту же окружность.  Действительно,   пусть АВ — сторона квадрата, вписанного в окружность О (рис. 199).

Опустим на АВ перпендикуляр из центра окружности О и продолжим его до пересечения с окружностью в точке С. АС и ВС будут, очевидно, сторонами правильного восьмиугольника.   В   треугольнике   ABC

АС + ВС > АВ.

Поскольку   p₄ = 4 АВ,   p₈ = 4 (АС+ВС),   то   p₈ > p₄ .   Аналогично показывается, что p₁₆ > p₈ ,  p₃₂ > p₁₆ и т. д.

Если каждый член числовой   последовательности,  начиная со второго,  меньше   предыдущего,   то  последовлтельность называется монотонно убывающей.

Другими словами, числовая последовательность a₁, a₂, a₃, ...  называется монотонно убывающей,  если для любого п

a_n+1 < a_n

Если при любом   п    a_n+1 < a_n ,  то последовательность {a_n} называется монотонно невозрастающей.   Например,  последовательность  1,   1, ¹/₂,   ¹/₂, ¹/₃, ¹/₃ , , не является монотонно убывающей, но является монотонно невозрастающей.

Примером монотонно убывающей  числовой последовательности  может служить  последовательность

1, ¹/₂,   ¹/₃, ¹/₄, ...., ¹/_n , ... .

Другим примером монотонно убывающей последовательности является последовательность

Р₄  ,   Р₈  ,   Р₁₆   ,   Р₃₂ ,...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около одной и той же окружности. Доказательство этого факта мы предлагаем учащимся провести самостоятельно.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности иногда называются просто монотонными последовательностями.

Не следует думать, что всякая числовая последовательность является   монотонной.   Так,   например,   последовательность

 —1;   1;  —1;   1;   ...

с общим членом a_n = (—1)ⁿ не принадлежит ни к монотонно возрастающим, ни к монотонно убывающим последовательностям. То же самое можнэ сказать и о последовательности

1, —¹/₂,   ¹/₃, —¹/₄, ¹/₅ , ....

с общим членом .   Подобные  последовательности   получили  название колеблющихся последовательностей.

Упражнения

935.  Какие из данных последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:

а)   1, 3, 5,...., 2п — 1, ... ;

б)  1, ¹/₂, ¹/₃, ...., ¹/_n , ...  ;

в)  sin 1, sin 2, sin3..... sin n, ... ;

г)  tg ^π/₃,   tg ^π/₆,   tg ^π/₉  , .....,  tg ^π/_3n , ...

д)   1, 4, 9,  .... , n² ...;

е)   1; — 0,1; 0,01; — 0,001; ... ; (— 0,1) ^{n — 1};

936.   Доказать, что последовательность с общим членом  является возрастающей.

937. Доказать, что последовательность с общим членом  является убывающей.

938.   Какому условию должны удовлетворять положительные числа а, b, с и d, чтобы последовательность с общим членом  была монотонно возрастающей?

939.   Доказать, что последовательность  с  общим членом , где а — некоторое   положительное   число,  отличное от  1,  является монотонно возрастающей.

ОТВЕТЫ