ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 129. Ограниченные и неограниченные числовые последовательности

Числовая   последовательность {a_n}    называется    ограниченной сверху, если все ее члены меньше некоторого числа А:

a_n < А   (п = 1,   2,   3,   ...).

Примером  такой   последовательности   может  служить    последовательность

¹/₂ , ²/₃ , ³/₄ ,  ... ,  ⁿ/_n+1 , ... ,

все члены которой меньше 1:

a_n < 1.

Здесь в роли А выступает число 1. Вместо него  можно   было бы выбрать 2, 3, ⁵/₂ и т. д.,   поскольку любое число  рассматриваемой последовательности меньше каждого из этих чисел. Важно не то, какое число выбрано в качестве А, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной сверху, служит последовательность

p₄,  p₈,   p₁₆,  p₃₂,  ...        (1)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., вписанных в одну и ту же окружность. Для доказательства ограниченности этой последовательности мы поступим следующим образом. Наряду с данной последовательностью рассмотрим последовательность

Р₄  ,   Р₈  ,   Р₁₆   ,   Р₃₂ ,...              (2)

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около той же самой окружности. Очевидно, что сторона АВ правильного 2n-угольника, вписанного в окружность, меньше стороны А'В' правильного 2n-угольника, описанного около этой окружности (рис. 200).

Поэтому

p₂n < Р₂n               (3)

Как было отмечено в предыдущем параграфе, последовательность (2) является монотонно убывающей. Поэтому каждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше первого члена Р₄. Следовательно,  для любого п > 2

P₂n < Р₄                 (4)

Из (3) и (4) вытекает, что

p₂n  < Р₄

Но Р₄ = 8r, где r — радиус окружности. Итак, для всех п >2

p₂n  <  8r.

Это неравенство и говорит о том, что последовательность (1) ограничена сверху. Роль А в данном случае играет число 8r.

Если члены ограниченной сверху числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, эти все точки расположатся левее точки с абсциссой А (рис. 201).

Числовая последовательность {a_n} называется ограниченной снизу, если все ее члены больше некоторого числа В:

a_n > В   (п = 1,   2,   3,   ...).

Примером такой последовательности может служить натуральный   ряд чисел

1, 2, 3, 4, 5.....

Он ограничен снизу, так как все его члены больше нуля (В = 0). В качестве В можно было бы указать и любое отрицательное число или ¹/₂, ¹/₃ и т.д. Как и в случав последовательности, ограниченной сверху, здесь  важно не то, какое число выбрать в качестве В, а то, что хотя бы одно такое число существует.

Важным примером последовательности, ограниченной снизу, является   последовательность

Р₄  ,   Р₈  ,   Р₁₆  ,...

периметров правильных 4-, 8-, 16-угольников и т. д., описанных около окружности. В этом легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые мы проводили выше при исследовании последовательности

p₄,  p₈,   p₁₆,   ...  

Если члены ограниченной снизу числовой последовательности изобразить точками числовой прямой, то все точки расположатся правее точки с абсциссой В (рис. 202).

Числовая последовательность, ограниченная одновременно и снизу и сверху, называется ограниченной.

Другими словами, числовая последовательность a₁, a₂, ..., a_n,... называется ограниченной, если существуют числа А и В такие, что при любом п

А < a_n < В (п = 1,  2,  3,  ...).

Очевидно, что все точки числовой оси, соответствующие членам такой числовой последовательности, заключены в отрезке, концы которого имеют абсциссы А и В (рис. 203).

Примеры.

1)  sin 1, sin 2, sin 3, ... , sin n.....

Для этой последовательности a_n = sin п. При любом п

—2 < sin n < 2.

Поэтому данная числовая последовательность ограничена.

2)   1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... .

Члены этой последовательности представляют собой десятичные приближения числа √2. Очевидно, что 1 < a_n < 2, так что  эта   последовательность   также  ограничена.

3)  Ограниченными   будут,   очевидно,   и   рассмотренные  выше последовательности:

p₄,  p₈,   p₁₆,  p₃₂,  ...  

Р₄, Р₈  , Р₁₆ , Р₃₂ ,...   

составленные из периметров правильных 2n-угольников, вписанных и описанных около некоторой окружности.

Упражнения

940.   Выяснить,  какие из данных    последовательностей ограничены и   какие  не ограничены:

941.  Приведите пример последовательности, которая была бы:

а)  ограниченной сверху,   но не ограниченной снизу;

б)  ограниченной снизу,  но не ограниченной сверху;

в)  не ограниченной ни сверху, ни снизу.

942*. Доказать, что последовательность с общим членом

a_n = 1+ ¹/₂ + ¹/₃ +... + ¹/_n

является неограниченной.