|
|
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ VI § 130 Предел бесконечной числовой последовательности Рассмотрим бесконечную числовую последовательность 1 + 1/1 , 1 — 1/2 , 1 + 1/3 , 1 — 1/4 , ... с общим членом
Будем изображать члены этой последовательности точками на числовой прямой (рис. 204).
Понятно, что все последовательные точки с ростом п то слева, то справа все ближе и ближе подходят к точке с абсциссой 1. Алгебраически это означает, что абсолютная величина разности an — 1 с ростом п становится все меньше и меньше, неограниченно приближаясь к нулю. Действительно,
Поэтому для всех членов, начиная со 101-го, эта абсолютная величина меньше 0,01; для всех членов, начиная с 1001-го, она меньше 0,001 и т. д. Вообще, какое бы малое положительное число ε мы ни выбрали (например, ε = 0,01; 0,001), всегда можно указать номер N такой, что для всех п > N будет выполняться неравенство |an — 1|< ε . Это неравенство эквивалентно двойному неравенству — ε < an — 1 < ε из которого вытекает, что 1 — ε < an < 1 + ε. Итак, при любом ε > 0 существует такой номер N, начиная с которого все члены нашей последовательности лежат в интервале от 1 — ε до 1 + ε (рис. 205).
В таких случаях говорят, что число 1 является пределом последовательности. Число а называется пределом бесконечной числовой последовательности a1, a2, ..., an , ... , если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что все члены последовательности, начиная с aN+1, попадают в интервал ( а — ε ; a + ε). Другими словами, число а называется пределом бесконечной числовой последовательности a1, a2, ..., an , ... , если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что для всех п > N | an — а | < ε.; Тот факт, что а есть предел числовой последовательности a1, a2, ..., an , ... , записывается следующим образом:
(читается: предел* an при п, стремящемся к бесконечности, равен а). Результат, полученный в начале этого параграфа, мы можем записать теперь в виде:
* lim — первые три буквы латинского слова limes, что по-русски означает: предел, граница. |
an = a