ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ  VI

§ 131. Примеры

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов бесконечных числовых  последовательностей.

Пример 1. Доказать, что предел числовой последовательности

1, ⁴/₃ , ⁶/₄, ⁸/₅ , ...,²ⁿ/_n+1 , ...

равен 2:

²ⁿ/_n+1 = 2.

Имеем:

Отсюда видно, что с ростом п абсолютная величина a_n — 2 становится и остается сколь угодно малой.

Например, при п > 20 эта абсолютная величина меньше 0,1, при п > 200 она меньше 0,01 и т. д. Вообще, как бы мало ни было положительное число ε, всегда можно найти номер N такой, что для всех п > N будет выполняться неравенство

| a_n — 2 | < ε.

В самом деле, | a_n — 2 |  = ²/_n+1. Поэтому написанное выше неравенство можно переписать в виде

²/_n+1< ε

откуда

.     n +1 > ²/_ε,    n > —1 + ²/_ε 

Если, например, мы хотим, чтобы  | a_n — 2 |  было меньше,  чем ε = 0,1, то п нужно выбирать из условия

n > —1 + ²/_0,1

то   есть  начиная  с  п = 20.   При ε = 0,001   мы  получили   бы

n > —1 + ²/_0,001

Следовательно, условие  | a_n — 2 |  < 0,001 выполняется для всех п, начиная с п = 2000   и т. д.

Если бы мы стали изображать члены рассматриваемой числовой последовательности точками числовой прямой (рис. 206), то заметили бы, что с ростом п они все  ближе и  ближе слева подходят к точке с абсциссой 2.

Для любого ε > 0 можно указать такой номер N, начиная с которого все точки будут находиться в интервале (2—ε , 2). Но в таком случае можно сказать, что все они будут находиться и в интервале (2 — ε, 2 + ε). Это служит геометрической иллюстрацией того, что предел данной числовой последовательности равен 2.

Пример    2.    Доказать,   что

Доказательство.

Выражение ¹/_n , а вместе с ним и  , с ростом п принимает все меньшие и меньшие значения. Поэтому, как бы мало   ни было положительное число ε, можно указать такой номер N, что для всех п > N будет выполняться неравенство

В частности, можно добиться, чтобы было

и т. д. Но в таком случае

Упражнения

Исходя   из определения предела,   доказать   следующие   соотношения   (№  943—946):

В   упражнениях   947—950   указаны  общие  члены   числовых последовательностей. Для каждой из этих   последовательностей найти предел а и определить номер N так, чтобы для всех п > N  выполнялось неравенство |a_n — а| < 0,01.

ОТВЕТЫ

 947. N = 199.    948. N = 24. 949. N = 100  950. N = 200.